微积分 / 英语

全微分和链式法则 | MIT 18.02SC 多变量微积分，2010年秋季

MIT OpenCourseWare · YouTube · 11:33

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视频中的要点

01问题设定： $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的复合依赖关系
02二元函数的全微分公式
03第（a）问的演算结果： $dz=2x\,dx+2y\,dy$

来自学习笔记

z = x^2 + y^2,\quad x = u^2 - v^2,\quad y = uv

问题设定： $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的复合依赖关系

选中时刻

标题页：全微分与链式法则

建议预备知识

偏导数
多元函数
变量的复合
多项式的基本求导
多变量函数的复合
基本求导法则（幂法则、乘积法则）
二元函数的全微分
微分的乘积法则
多变量函数的复合
全微分
多元链式法则
变量替换

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阅读完整概览

这是来自麻省理工学院（MIT）多变量微积分习题课的一段时长为180秒的片段，介绍了一个关于全微分与链式法则的例题。在标题页之后，教师给出设定 $z=x^2+y^2$ 、 $x=u^2-v^2$ 、 $y=uv$ ，并提出两项任务：(a) 将 $dz$ 用 $dx,dy$ 表示；(b) 用两种方法计算 $\partial z/\partial u$ 。随后他完整求解第(a)问：运用公式 $dz=z_xdx+z_ydy$ ，计算出 $z_x=2x$ 和 $z_y=2y$ ，并得出结论 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 。接着片段转入第(b)问，教师构建了一个依赖关系图，其中 $z$ 位于顶部， $x$ 和 $y$ 居中， $u$ 与 $v$ 位于底部，以此组织链式法则的应用。在本片段结束前，尚未展开链式法则的具体表达式，也未得到 $\partial z/\partial u$ 的最终数值。本片段选自麻省理工学院18.02SC 多变量微积分课程，演示了对 $z = x$ ² + y²、 $x = u$ ² − v²、y = uv 使用链式法则和依赖图计算 ∂z/∂u 的过程。教师追踪路径 $z\to x\to u$ 和 $z\to y\to u$ ，得出 ∂z/∂ $u = 4$ ux + 2vy，并说明保留混合变量形式的答案是可接受的。他还指出：链式法则是一种快速的操作方法，而全微分则是理解变量依赖关系时更清晰的概念工具。这段时长为180秒的白板片段，讲解一个多元微积分例题，关联全微分与链式法则。黑板左侧显示 $dz=z_x dx+z_y dy=2x dx+2y dy$ 、链式法则公式 $\partial z/\partial u=(\partial z/\partial x)(\partial x/\partial u)+(\partial z/\partial y)(\partial y/\partial u)$ 、其简化结果 $4ux+2vy$ ，以及一张依赖关系图，其中 $z$ 位于 $x,y$ 上方， $u,v$ 位于下方。右侧，教师重写 $dx=2u du-2v dv$ 和 $dy=v du+u dv$ ，代入 $dz$ ，展开得 $dz=(4xu+2yv)du+(2yu-4xv)dv$ ，并指出 $du$ 的系数为 $\partial z/\partial u$ 。本片段通过展示全微分dz可写成标准形式(∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv，从而完成了一个多变量链式法则例题：由此，每个偏导数均可直接从对应微分项的系数读出。教师从展开后的全微分中提取出∂z/∂ $u = 4$ xu+2vy，修正了系数中的代数疏漏，并验证了黑板中部依赖关系图链式法则所得结果与此相同。随后他比较了两种方法：依赖关系图法在仅需求一个偏导数时更快捷；而全微分法在初始微分步骤之后更具代数性、更不易出错，但也会自动给出∂z/∂v。

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章节

0:00标题页：全微分与链式法则 0:06题目设定与目标 1:18第(a)问：计算全微分 2:08第(b)问：借助依赖关系图启动链式法则 3:00问题设定与依赖图 3:10通过依赖图路径应用链式法则 3:55计算各个偏导数 4:40整合结果：∂z/∂

u = 4

ux + 2vy 4:55说明：含混合变量的答案是可以接受的 5:20对比：链式法则与全微分法 6:00重复全微分

dz=2x dx+2y dy

6:20将

dx

用

du

和

dv

表示 6:34写出

dy=v du+u dv

来自

y=uv

6:48将

dx

和

dy

代入

dz

7:52展开并合并

du

和

dv

的系数 8:43指出

\partial z/\partial u

即为

du

的系数 9:00将dz写成标准全微分形式 9:18将∂z/∂u识别为du的系数 9:55将结果与链式法则计算进行核对 10:14比较依赖图法与全微分法

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

本片段以多变量微积分课程的标题页开场，点明主题为全微分与链式法则。

画面切到一块黑板，上面已完整写出了例题： $z=x^2+y^2$ 、 $x=u^2-v^2$ 和 $y=uv$ 。讲师解释说， $z$ 是中间变量 $x$ 和 $y$ 的函数，而这两个中间变量又分别依赖于辅助变量 $u$ 和 $v$ 。

他说明了两项任务：在第（a）问中，目标仅是将全微分 $dz$ 用 $dx$ 和 $dy$ 表示出来，因此在此阶段， $u$ 和 $v$ 被刻意排除在最终表达式之外；在第（b）问中，目标是用两种方法计算 $\partial z/\partial u$ ：先用链式法则，再用全微分法。

在邀请观众暂停思考后，他回到视频中，开始讲解第（a）问，并首先回顾了二元函数全微分的定义公式： $dz=z_x\,dx+z_y\,dy$ 。

接着，他将该公式应用于具体函数 $z=x^2+y^2$ ：对 $x$ 求偏导得 $z_x=2x$ ，对 $y$ 求偏导得 $z_y=2y$ ；将这两个结果代入公式，即得到第（a）问的完整答案： $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 。

讲师转向第（b）问，并表示将首先使用链式法则。在写出任何导数公式之前，他引入了一个依赖关系图，作为梳理变量间依赖关系的组织工具。

他在黑板上将 $z$ 置于顶部，向下画出箭头指向 $x$ 和 $y$ ，再从 $x$ 和 $y$ 各自向下画出箭头指向 $u$ 和 $v$ 。他边讲解边指出：该图表明 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，而 $x$ 和 $y$ 则共同依赖于 $u$ 和 $v$ 。

到本片段结束时，该图已清晰显示：从 $z$ 到 $u$ 存在两条路径，一条经由 $x$ ，另一条经由 $y$ ；但关于 $\partial z/\partial u$ 的链式法则展开式尚未写出。

教师开始讲解本题的第二部分（b）：已知 $z = x$ ² + y²， $x = u$ ² − v²，y = uv，要求用链式法则计算 ∂z/∂u。黑板上画出一个依赖关系图，z 位于顶部，分别指向 x 和 y；x 和 y 又各自向下指向 u 和 v。

他解释链式法则的步骤：在依赖关系图中找出所有从 z 到 u 的路径。这样的路径共有两条： $z \to x \to u$ 和 $z \to y \to u$ 。每条路径对应一个偏导数乘积，并将这些乘积相加。

他写出链式法则公式：∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) + (∂z/∂y)(∂y/∂u)。该公式直接对应图中所追踪的两条路径。

接着，他逐个计算各因子。由 $z = x$ ² + y² 得 ∂z/∂ $x = 2x$ ，∂z/∂ $y = 2y$ ；由 $x = u$ ² − v² 得 ∂x/∂ $u = 2u$ ；由 y = uv 并将 v 视为常数，得 ∂y/∂ $u = v$ 。

将这些代入链式法则公式，得到 ∂z/∂ $u = (2x)(2u) + (2y)(v) = 4$ ux + 2vy。他将此作为最终答案写在黑板上。

随后，他回应学生中一种常见直觉：由于 x 和 y 本身是 u 和 v 的函数，有人可能觉得必须将它们的表达式代回原式。他明确指出这并非必要，且含混合变量（同时包含 x、y 与 u、v）的答案完全可接受。

他进一步指出，保留混合变量实际上揭示了一个重要事实：它清晰展现了各微分量之间的相互依赖关系，而这正是本题的概念核心。

最后，他转向另一种方法——全微分法。他坦率比较两种方法：链式法则是最高效的计算步骤，而全微分法则更清晰地阐明了变量间潜在的依赖结构。他表示，若时间允许深入探讨，他个人更倾向使用全微分法。

该片段以双分区黑板布局开场。左侧，第(a)部分已写出全微分 $dz=z_x dx+z_y dy$ ，并将其特化为 $dz=2x dx+2y dy$ ；第(b)部分展示了关于 $\partial z/\partial u$ 的链式法则公式及对应的依赖关系图。右侧，教师从相同的起始微分重新开始推导，明确表明目标是将 $dz$ 从 $(x,y)$ 变量变换为 $(u,v)$ 变量。

下一步是将中间微分 $dx$ 用新的自变量表达。教师指出 $x$ 本身是 $u$ 和 $v$ 的函数，随后写出 $dx=2u du-2v dv$ 。这为代入 $dz$ 的公式提供了第一个必要成分。

接着处理第二个中间变量。教师回顾 $y=uv$ ，对乘积求导并写出 $dy=v du+u dv$ 。此时，右侧已完整呈现全部三个所需的微分恒等式：原始的 $dz$ 、新得到的 $dx$ ，以及新得到的 $dy$ 。

在这些部分就位后，讲师强调剩余工作是代入而非新的概念步骤。他将 $dx$ 和 $dy$ 内部 $dz=2x dx+2y dy$ ，得到 $dz=2x(2u du-2v dv)+2y(v du+u dv)$ 。其目的是回答 $z$ 如何依赖于 $u$ 和 $v$ ，方法是将其微分完全重写为 $du,dv$ 基下的形式。

随后对该表达式进行展开并重新分组。合并 $du$ 的系数得到 $4xu+2yv$ ，合并 $dv$ 的系数得到 $2yu-4xv$ ，因此黑板上最终呈现的是 $dz=(4xu+2yv)du+(2yu-4xv)dv$ 。这是可直接读出偏导数的代数形式。

最后，教师指向 $du$ 的系数，并指出： $\partial z/\partial u$ 的一种定义正是该系数。因此，右侧的全微分计算结果与左侧的链式法则结果一致，而预先写好的公式已将 $\partial z/\partial u$ 简化为 $4ux+2vy$ 。

教师首先将z关于独立变量u和v的全微分重写。他在黑板右侧写下 $dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$ ，确立了后续用于从系数中读取偏导数的标准形式。

接着，他将这一新写出的式子与黑板上先前已展开的表达式 $dz = (4xu+2vy)du + (2yu-4xv)dv$ 进行比对，并指出两边表示同一个微分。由此等式可知，乘在 $du$ 前的系数必为 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。

在提取该系数的过程中，他注意到第二项存在代数错误，随即口头更正并在黑板上修正，最终确定为 $4xu+2vy$ 。因此，全微分法得出的结果为 $\frac{\partial z}{\partial u}=4xu+2vy$ 。

作为验证，他指向中间黑板，那里已通过依赖图应用了链式法则： $\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\cdot 2u + 2y\cdot v = 4xu+2vy$ 。两种方法结果一致。

视频剩余部分聚焦于方法比较。教师指出，若追求速度（例如考试时），依赖图法最快：先明确变量依赖关系，再从 $z$ 出发追踪所有通往目标独立变量的路径，并沿每条边将对应偏导数相乘。

若有更充裕的时间，他更倾向于使用全微分法，因为初始微分之后，其余步骤主要是代数运算，他觉得这样出错的可能性更小。他还指出一种权衡：该方法自然地给出全微分，因此它同时得出 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 即使仅要求 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。

知识卡片

问题设定： $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的复合依赖关系

该例从外层函数 $z=x^2+y^2$ 开始，然后将中间变量重新表示为 $x=u^2-v^2$ 和 $y=uv$ 。这构成了一个复合函数，其中 $z$ 依赖于 $u$ 和 $v$ 间接通过 $x$ 和 $y$ 。教师利用这一设定，引出全微分计算和后续的链式法则计算。

z = x^2 + y^2,\quad x = u^2 - v^2,\quad y = uv

二元函数的全微分公式

对于可微函数 $z=z(x,y)$ ，其全微分为：对 $x$ 的偏导数乘以 $dx$ ，加上对 $y$ 的偏导数乘以 $dy$ 。在本片段中，讲师先陈述了该公式，再将其应用于具体的多项式例子。

dz = z_x\,dx + z_y\,dy

第（a）问的演算结果： $dz=2x\,dx+2y\,dy$

将全微分公式应用于 $z=x^2+y^2$ ，教师计算出 $z_x=2x$ 和 $z_y=2y$ ，再代入得到第(a)问所要求的答案。音频中强调的关键点是：第(a)问仅用 $dx$ 和 $dy$ 表示，尚未用 $du$ 和 $dv$ 表示。

dz = 2x\,dx + 2y\,dy

依赖关系图：链式法则的组织工具

在开始第(b)问时，教师绘制一张图：顶部为 $z$ ，中部为 $x$ 和 $y$ ，底部为 $u$ 和 $v$ ；箭头表示直接依赖关系。这一可视化工具专门用于在写出链式法则公式前，厘清哪些中间变量对 $\partial z/\partial u$ 有贡献。

本片段完成与未完成的内容

本片段完整完成了第(a)问，给出了 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ ；但仅开启了第(b)问：教师宣布将先用链式法则、再用微分法计算 $\partial z/\partial u$ ，并画出了依赖关系图，而实际展开过程与最终结果并未在此片段中出现。

通过依赖图理解链式法则

当 z 依赖于 x 和 y，而 x、y 又依赖于 u 和 v 时，偏导数 ∂z/∂u 可通过对依赖图中所有从 z 到 u 的路径求和得到。每条路径的贡献等于该路径上各边偏导数的乘积。对于图中路径 $z\to x\to u$ 和 $z\to y\to u$ ，有 ∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) + (∂z/∂y)(∂y/∂u)。

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

例题：计算 ∂z/∂u

已知 $z = x$ ² + y²， $x = u$ ² − v²，y = uv：∂z/∂ $x = 2x$ ，∂x/∂ $u = 2u$ ，∂z/∂ $y = 2y$ ，∂y/∂ $u = v$ 。代入得：∂z/∂ $u = (2x)(2u) + (2y)(v) = 4$ ux + 2vy。

\frac{\partial z}{\partial u} = 4ux + 2vy

允许答案中混用不同变量

应用链式法则后，结果中可能同时包含中间变量（x、y）和独立变量（u、v）。将 $x = u$ ² − v² 和 y = uv 代回最终答案是可选的。主讲人强调，混用变量的形式很有价值，因为它清晰展示了微分量之间的依赖关系。

链式法则与全微分

主讲人将链式法则描述为一种快速的计算口诀，但指出它缺乏解释深度；相比之下，全微分则更清晰地揭示了变量之间的依赖关系。当目标是理解而非速度时，他更倾向使用全微分。

dz = z_x\,dx + z_y\,dy

$z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的全微分

视频从二元函数的标准全微分公式出发，并代入黑板上给出的具体偏导数。这一对象后续将被重写为关于 $u$ 和 $v$ 的表达式。

dz = z_x dx + z_y dy = 2x dx + 2y dy

$\partial z/\partial u$ 经由 $x$ 和 $y$ 的链式法则

黑板左侧展示了多元链式法则，适用于 $z$ 依赖于中间变量 $x$ 和 $y$ ，而每个中间变量又依赖于 $u$ 和 $v$ 该公式对从 $u$ 到 $z$ 的两条路径所作的贡献求和。

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

$x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分

由于 $x$ 被视作新自变量的函数，其微分在代入 $dz$ 之前被重写。黑板上给出的是 $du$ 和 $dv$ 的线性组合，该组合将替代 $dx$ 。

dx = 2u du - 2v dv

$y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分

教师明确回顾： $y$ 等于乘积 $uv$ ，并运用乘积法则对其求导。这提供了将 $dz$ 转换为 $du,dv$ 基所需的第二个代换。

dy = v du + u dv

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $dz$

一旦中间微分已知，该方法即转化为代数代换。将 $dx$ 和 $dy$ 的公式直接代入 $dz$ 的原始表达式中。

dz = 2x(2u du - 2v dv) + 2y(v du + u dv)

合并 $du$ 和 $dv$ 的系数

代入后，表达式被展开并按独立微分项归类。此步骤分离出对应于对 $u$ 求偏导数的系数，以及对应于对 $v$ 求偏导数的系数。

dz = (4xu + 2yv)du + (2yu - 4xv)dv

从 $\partial z/\partial u$ 的系数中读取 $du$

最后一个概念要点是：一旦将 $dz$ 表示为 $du$ 与 $dv$ 的线性组合，则 $du$ 的乘子即为 $z$ 对 $u$ 的偏导数。这将微分计算重新关联到链式法则。

\frac{\partial z}{\partial u} = 4xu + 2yv

复合函数的依赖关系图

左侧的静态图编码了函数依赖结构： $z$ 位于 $x$ 和 $y$ 之上，而 $x$ 与 $y$ 均位于 $u$ 和 $v$ 之上。该图直观解释了为何 $\partial z/\partial u$ 的链式法则公式包含两项相加。

关于u和v的全微分的标准形式

当z被视为独立变量u和v的函数时，其全微分可表示为du与dv的线性组合。这一形式是将偏导数识别为系数的基础。

dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv

从du的系数中读取偏导数

如果同一个微分 dz 已经被展开为含 du 和 dv 的项，那么 du 的系数恰好就是 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。在本例的演算中，展开式给出的系数为4xu+2vy。

\text{If } dz = A\,du + B\,dv,\text{ then } \frac{\partial z}{\partial u}=A.

关于 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 的演算结果

根据黑板上的计算，在将 dx 和 dy 代入 dz 并合并同类项后，对 u 的偏导数被求得为4xu+2vy。教师在最终确定该表达式前，修正了一处中间代数计算失误。

\frac{\partial z}{\partial u} = 4xu + 2vy

利用依赖关系图进行链式法则验证

通过依赖关系图应用多元链式法则，可得到相同结果：将每条从 z 到 u 的路径上各偏导数相乘，再将所有路径的贡献相加，即可复现4xu+2vy。

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\cdot 2u + 2y\cdot v = 4xu+2vy

依赖关系图法与全微分法的对比

本片段对比了两种策略：当仅需计算一个偏导数时（尤其在时间紧迫的情况下），依赖关系图法被呈现为最快捷的方法；而全微分法则在初始微积分步骤之后更偏代数化、更不易出错，但耗时更长，因为它会额外计算诸如 $\frac{\partial z}{\partial v}$ 等信息。

全微分法附带得出的额外偏导数

由于全微分被完全重写为 du 和 dv 的形式，dv 的系数也自动获得。在本例中，这意味着即使题目只要求 $\frac{\partial z}{\partial u}$ ， $\frac{\partial z}{\partial v}$ 仍会自然出现。

\frac{\partial z}{\partial v} = 2yu - 4xv

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 48

z

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“我们有一个函数 z，它等于 x 的平方加上 y 的平方。”
公式
观察依据
黑板上显示 $z = x^2 + y^2$ 。

符号

含义

示例中的因变量与函数值。

适用范围

关于 $x$ 和 $y$ 的函数；最终依赖于 $u$ 和 $v$ ，通过 $x$ 和 $y$ 。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出， $z$ 依赖于两个变量 $x$ 和 $y$ ，且 $x$ 本身依赖于 $u$ 和 $v$ 。
公式
观察依据
黑板上显示 $x = u^2 - v^2$ 。

符号

含义

在 $z=x^2+y^2$ 中为中间变量，在 $x=u^2-v^2$ 中为因变量。

适用范围

关于 $u$ 和 $v$ 的函数。

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出， $z$ 依赖于两个变量 $x$ 和 $y$ ，且 $y$ 也依赖于 $u$ 和 $v$ 。
公式
观察依据
黑板上显示 $y = uv$ 。

符号

含义

在 $z=x^2+y^2$ 中为中间变量，在 $y=uv$ 中为因变量。

适用范围

关于 $u$ 和 $v$ 的函数。

u

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“现在变量 x 和 y 本身又依赖于两个辅助变量 u 和 v。”
公式
观察依据
黑板上显示 $x = u^2 - v^2$ 和 $y = uv$ 。

符号

含义

支撑 $x$ 和 $y$ 的辅助自变量。

适用范围

设定中的自变量。

v

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“现在变量 x 和 y 本身又依赖于两个辅助变量 u 和 v。”
公式
观察依据
黑板上显示 $x = u^2 - v^2$ 和 $y = uv$ 。

符号

含义

支撑 $x$ 和 $y$ 的辅助自变量。

适用范围

设定中的自变量。

dz

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“我们只需将全微分 dz 表示为 dx 和 dy 的形式。”
公式
观察依据
黑板上先显示 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，再显示 $dz = 2x dx + 2y dy$ 。

符号

含义

$z$ 的全微分。

适用范围

第(a)问中 $dx$ 与 $dy$ 的线性组合。

dx

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，全微分应表示为关于 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。
公式
观察依据
黑板上先写出 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，再写出 $dz = 2x dx + 2y dy$ 。

符号

含义

中间变量 $x$ 的微分。

适用范围

作为 $dz$ 表达式中的一个基本微分出现。

dy

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，全微分应表示为关于 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。
公式
观察依据
黑板上先写出 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，再写出 $dz = 2x dx + 2y dy$ 。

符号

含义

中间变量 $y$ 的微分。

适用范围

作为 $dz$ 表达式中的一个基本微分出现。

$z_x$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“z 关于 x 方向的偏导数是2x。”
公式
观察依据
黑板上显示 $z_x$ 位于 $dz = z_x dx + z_y dy$ 中，并将其代入为 $2x$ 。下标 $x$ 清晰可见。

符号

$z_x$

含义

$z$ 关于 $x$ 的偏导数。

适用范围

全微分公式中 $dx$ 的系数。

$z_y$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“z 关于 y 的偏导数是2y。”
公式
观察依据
黑板上显示了 $z_y$ 在 $dz = z_x dx + z_y dy$ 中的表达式，并将其代入为 $2y$ 。下标 $y$ 清晰可见。

符号

$z_y$

含义

$z$ 关于 $y$ 的偏导数。

适用范围

全微分公式中 $dy$ 的系数。

$\frac{\partial z}{\partial u}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“我们将用两种不同的方法计算偏导数 ∂z/∂u。”
公式
观察依据
黑板上在第(b)问中显示了 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。

符号

$\frac{\partial z}{\partial u}$

含义

的偏导数 $z$ 关于 $u$ 的复合后 $z(x(u,v),y(u,v))$ 。

适用范围

第(b)问的目标量；本片段中未完成该量的计算。

z

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板显示 $z = x^2 + y^2$ 。

符号

含义

因变量定义为 x 和 y 的函数。

适用范围

x 和 y 的函数

知识点 · 17

二元函数的全微分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“全微分 dz 就是 z 在 x 方向的偏导数乘以 dx，加上 z 在 y 方向的偏导数乘以 dy。”
公式
观察依据
黑板上显示了 $dz = z_x dx + z_y dy$ 。

公式

解释

对于函数 $z=z(x,y)$ ，其全微分是各独立变量的偏导数与对应微分的线性组合。本片段中，教师直接将其应用于 $z=x^2+y^2$ 。

公式

dz = z_x\,dx + z_y\,dy

适用条件

$z$ 被视为关于两个变量 $x$ 和 $y$ 的可微函数。
该表达式仅用 $dx$ 和 $dy$ 表示。

先修条目

z
x
y
dz
dx
dy
$z_x$
$z_y$

本例的复合变量设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“我们有一个函数z，它等于x的平方加上y的平方……而变量x和y本身又依赖于两个辅助变量u和v。”
公式
观察依据
黑板上显示了 $z = x^2 + y^2$ 、 $x = u^2 - v^2$ 和 $y = uv$ 。

定义

解释

该问题定义了一个外层函数 $z=x^2+y^2$ ，再将中间变量 $x$ 和 $y$ 表示为辅助变量 $u$ 和 $v$ 的函数。这构成了一个复合函数 $z(x(u,v),y(u,v))$ ，从而引出全微分与链式法则的讨论。

公式

z = x^2 + y^2,\quad x = u^2 - v^2,\quad y = uv

适用条件

$x$ 和 $y$ 是中间变量。
$u$ 和 $v$ 是辅助的自变量。

先修条目

作为链式法则辅助工具的依赖关系图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“每当我思考链式法则时，我喜欢画出这种依赖关系图……这只是我用来梳理各个变量之间依赖关系的一种方式。”
图示
观察依据
黑板上展示了一个三层图：顶层为 $z$ ，中层为 $x$ 和 $y$ ，底层为 $u$ 和 $v$ ；箭头从 $z$ 指向 $x$ 和 $y$ ，从 $x$ 和 $y$ 分别指向 $u$ 和 $v$ 。

方法

解释

教师引入了一种用于链式法则的可视化记账方法：节点代表变量，有向边代表依赖关系，因此可在写出导数公式之前，直接读出从最终目标变量到所选自变量之间的所有路径。

公式

适用条件

当多个中间变量依赖于相同的底层变量时，此方法很有用。
本片段中已画出图像，但尚未写出完整的链式法则公式。

先修条目

本例的复合变量设定

$z(x,y)$ 的全微分公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $dz = z_x dx + z_y dy$ 。

公式

解释

z 的全微分写作 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，其中 $z_x$ 和 $z_y$ 分别是 z 关于 x 和 y 的偏导数。

公式

dz = z_x\,dx + z_y\,dy

适用条件

z 是 x 和 y 的可微函数。

借助依赖关系图的链式法则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，若计算偏导数 ∂z/∂u，需在依赖关系图中找出所有从 z 到 u 的路径，每条路径对应求和式中的一项。
公式
观察依据
教师写下 ∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) + (∂z/∂y)(∂y/∂u)。

方法

解释

当 z 依赖于 x 和 y，且 x 和 y 又依赖于 u 和 v 时，为计算 ∂z/∂u，需对依赖关系图中所有从 z 到 u 的路径求和；每条路径贡献该项路径上各偏导数的乘积。

公式

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

适用条件

z 等于 z 关于 x 和 y 的函数，x 等于 x 关于 u 和 v 的函数，y 等于 y 关于 u 和 v 的函数。

先修条目

$z(x,y)$ 的全微分公式

混用变量答案的可接受性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师表示，他完全接受像这样混用变量的答案，而将x用u和v表示的公式代入，并非必要。

定义

解释

在使用链式法则或全微分时，所得表达式可能同时包含中间变量（如x、y）和自变量（如u、v）。除非特别要求，否则无需将中间变量代回最终答案。

公式

先修条目

借助依赖关系图的链式法则

$z$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的全微分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧部分（a）先显示 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，再显示 $= 2x dx + 2y dy$ 。
声音
观察依据
开始时，教师重复道：“我们已经看到 $dz$ 等于 $2x dx + 2y dy$ 。”

定义

解释

该片段使用了二元函数的标准一阶全微分公式。此处将 $z$ 视为依赖于 $x$ 和 $y$ 的函数，其微分写作：对 $x$ 的偏导数乘以 $dx$ ，加上对 $y$ 的偏导数乘以 $dy$ 。随后黑板代入具体值 $z_x=2x$ 和 $z_y=2y$ 。

公式

dz = z_x dx + z_y dy = 2x dx + 2y dy

适用条件

$z$ 被视为关于 $x$ 和 $y$ 的可微函数。
所展示的例子使用了具体的偏导数 $z_x=2x$ 和 $z_y=2y$ 。

先修条目

dz
$z_x$
$z_y$
dx
dy

关于的链式法则 $\partial z/\partial u$ 通过中间变量 $x$ 以及 $y$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧部分（b）显示 $\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$ 。
图示
观察依据
依赖关系图中， $z$ 位于顶部， $x$ 和 $y$ 居中， $u$ 和 $v$ 位于底部，直观表达了相同的复合关系。

公式

解释

黑板展示了当 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，且每个变量又分别依赖于 $u$ 和 $v$ 。对于关于 $u$ 的偏导数，其贡献来自两条路径： $z\leftarrow x\leftarrow u$ 和 $z\leftarrow y\leftarrow u$ ，因此该公式是两个乘积的和。

公式

\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}

适用条件

$z=z(x,y)$ 和 $x=x(u,v)$ ， $y=y(u,v)$ 的可微性足以支持屏幕上显示的链式法则计算。
屏幕上显示的公式专用于对 $u$ 求偏导；与此对应的对 $v$ 求偏导未在此片段左侧单独写出。

先修条目

$\frac{\partial z}{\partial u}$
$\frac{\partial z}{\partial x}$
$\frac{\partial x}{\partial u}$
$\frac{\partial z}{\partial y}$
$\frac{\partial y}{\partial u}$

中间变量 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“现在我们要利用 $x$ 本身是 $u$ 和 $v$ 的函数这一事实。”
公式
观察依据
他在黑板右侧写下 $dx = 2u du - 2v dv$ 。

待核验内容

$x(u,v)$ 的显式表达式未在片段中展示；仅写出了它的微分。

方法

解释

为在全微分中进行变量替换，教师首先用自变量 $x$ 和 $u$ 重写中间变量 $v$ 的微分。所显示的结果是 $du$ 和 $dv$ 系数为 $2u$ 和 $-2v$ 。

公式

dx = 2u du - 2v dv

适用条件

$x$ 是 $u$ 和 $v$ 的可微函数。
此步骤在代入 $dz=2x dx+2y dy$ 之前使用。

先修条目

中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“因此请记住 $y$ 是 $uv$ 。因此对 $d$ 关于 $uv$ 求微分，得到 $v du + u dv$ 。”
公式
观察依据
他在黑板右侧写下 $dy = v du + u dv$ 。

方法

解释

第二个中间微分通过对乘积 $y=uv$ 求导得到。乘积法则给出两项：一项是对 $u$ 求导而保持 $v$ 不变，另一项是对 $v$ 求导而保持 $u$ 不变。

公式

dy = v du + u dv

适用条件

对应的式子为： $y(u,v)=uv$ 。
应用标准的乘积求导法则来获得全微分。

先修条目

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“这些计算完成后，接下来只需代入”，然后说：“我们只需将关于 $dx$ 的公式代入此处。”
公式
观察依据
他在黑板上写出 $dz = 2x(2u du - 2v dv) + 2y(v du + u dv)$ 。

方法

解释

在列出所需的全微分之后，该方法就完全代数化了：将 $dx$ 和 $dy$ 在 $dz=2x dx+2y dy$ 用其在 $du$ 和 $dv$ 中的表达式替换。这将微分形式从 $(x,y)$ -基变换到 $(u,v)$ -基。

公式

dz = 2x(2u du - 2v dv) + 2y(v du + u dv)

适用条件

先前已算出公式 $dz=2x dx+2y dy$ 、 $dx=2u du-2v dv$ 和 $dy=v du+u dv$ 。
代入成立，因为这三个都是关于微分的恒等式。

先修条目

$z$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的全微分
中间变量 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。
中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。
dz

展开并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“现在我们只需将所有内容展开”，接着说：“我们把所有含 $du$ 的项归并起来”，最后说：“如果我们把含 $dv$ 的项归并起来。”
公式
观察依据
黑板上的最终结果是 $=(4xu+2yv)du+(2yu-4xv)dv$ 。

方法

解释

代入后的表达式按独立微分量 $du$ 和 $dv$ 展开并重新归类。乘以 $du$ 的系数变为 $4xu+2yv$ ，乘以 $dv$ 的系数变为 $2yu-4xv$ 。

公式

dz = (4xu + 2yv)du + (2yu - 4xv)dv

适用条件

利用代数的分配律与交换律展开乘积，并合并同类微分项。
结果仍以符号形式保留 $x$ 和 $y$ ，而非用它们的 $u,v$ 表达式替代。

先修条目

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。
du
dv

定理与条件 · 7

$z=x^2+y^2$ 的偏导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“z 关于 x 方向的偏导数是2x”，“z 关于 y 的偏导数是2y。”
公式
观察依据
黑板上显示将 $dz = 2x\,dx + 2y\,dy$ 代入 $dz = z_x dx + z_y dy$ 后得到的结果。

命题

若 $z=x^2+y^2$ ，则 $z_x=2x$ 且 $z_y=2y$ 。

前提

$z$ 由 $z=x^2+y^2$ 显式给出。
对 $x$ 和 $y$ 分别求导，同时将另一变量视为常数。

量词

针对本例中所示的函数。

第(a)问的结果

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师总结道：“好，第一小问就做到这里。”
公式
观察依据
黑板上显示 $dz = 2x\,dx + 2y\,dy$ 。

命题

对于 $z=x^2+y^2$ ，用 $dx$ 和 $dy$ 表示的全微分为 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 。

前提

使用全微分公式 $dz=z_xdx+z_ydy$ 。
使用 $z_x=2x$ 和 $z_y=2y$ 。

量词

针对例题第(a)问中的具体函数。

关于 $u$ 的偏导数的多元链式法则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧第(b)部分明确展示了等式 $\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$ 。
图示
观察依据
依赖关系图显示 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，而 $x$ 与 $y$ 均依赖于 $u$ 和 $v$ 。

定理

命题

若 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，且 $x$ 和 $y$ 依赖于 $u$ 和 $v$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$ 。

前提

$z=z(x,y)$ 在其所用变量上可微。
$x=x(u,v)$ 和 $y=y(u,v)$ 在其所用变量上可微。
所展示的公式是关于 $u$ 的偏导数。

量词

对于依赖关系图中所示的复合函数，关于 $u$ 的偏导数等于经由 $x$ 和 $y$ 这两条中间路径的贡献之和。

以 $du$ 的系数为特征刻画 $\partial z/\partial u$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“偏导数 $\partial z/\partial u$ 的一种定义就是这个系数。”
公式
观察依据
所指出的系数是 $du$ 在 $dz=(4xu+2yv)du+(2yu-4xv)dv$ 中的乘数。

待核验内容

该片段在单独写出标识该系数的方程之前就结束了。

命题

当 $dz$ 被写成 $A\,du+B\,dv$ 时，系数 $A$ 为 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。

前提

$dz$ 已被重写为独立微分 $du$ 和 $dv$ 的表达式。
该表达式被组织为 $du$ 和 $dv$ 的线性组合。

量词

对于任何此类重写后的全微分，附在 $du$ 上的系数给出 $u$ -偏导数 $z$ 。

两个 dz 表达式的相等性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我们在这两边所得到的，本质上是同一个表达式。
图示
观察依据
教师在展开后的 dz 表达式与新写出的标准形式 dz 表达式之间来回指认。

命题

通过代入得到的展开微分表达式与标准形式表达式 dz = 〔∂z/∂u〕du + 〔∂z/∂v〕dv 表示的是同一个微分。

前提

这两个表达式都是对同一因变量 z 关于 u 和 v 的 dz 所做的代数重写。

量词

针对黑板上的例题。

∂z/∂u 的系数识别

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
如果我们想计算 ∂z/∂u，那么它就等于此处的这个系数。
图示
观察依据
教师圈出了乘以 du 的系数（4xu+2vy）。

命题

在表达式 dz = (4xu+2vy)du + (2yu-4xv)dv 中，du 的系数等于 ∂z/∂u。

前提

所展示的表达式是 z 的全微分，用独立微分 du 和 dv 表示。

量词

针对黑板上具体演算的表达式。

全微分法自动给出 ∂z/∂v

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我们在计算全微分时，最终得到了 ∂z/∂v 的表达式，尽管题目并未要求我们这样做。
公式
观察依据
右侧黑板显示了对应于 ∂z/∂v 的 dv 系数（2yu-4xv）。

命题

在此例中使用全微分法，即使只要求对 u 求导，也会同时得到关于 v 的导数。

前提

该计算将 dz 完全重写为 du 和 dv 的形式。

量词

针对本视频片段中讨论的这个例子。

推导与证明 · 7

第(a)问中全微分的推导过程。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师陈述了 $dz$ 的定义，计算了两个偏导数，并指出第(a)问完成。
公式
观察依据
黑板上先显示 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，然后显示 $dz = 2x dx + 2y dy$ 。

严格证明

步骤

公式
$dz = z_x\,dx + z_y\,dy$
解释
从二元函数全微分的一般公式出发。
步骤依据
教师陈述的定义/公式。
视频直接表达
公式
$z_x = 2x$
解释
对 $z=x^2+y^2$ 关于 $x$ 求导，将 $y$ 视为常数。
步骤依据
对所展示函数直接进行偏微分。
视频直接表达
公式
$z_y = 2y$
解释
对 $z=x^2+y^2$ 关于 $y$ 求导，将 $x$ 视为常数。
步骤依据
对所显示函数进行直接的偏微分。
视频直接表达
公式
$dz = 2x\,dx + 2y\,dy$
解释
将计算出的偏导数代入全微分公式。
步骤依据
代数代入 $dz=z_xdx+z_ydy$ 。
视频直接表达

结论

第(a)问以 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 结束。

开始计算 $\partial z/\partial u$ 的链式法则。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师表示将首先使用链式法则计算 $\partial z/\partial u$ ，并从绘制依赖关系图开始。
图示
观察依据
黑板上显示 $z$ 位于 $x$ 和 $y$ 上方，箭头向下指向 $u$ 和 $v$ ；在片段结束前未写出最终的链式法则公式。

待核验内容

本片段内未推导出 $\partial z/\partial u$ 的实际链式法则表达式。
宣布将采用全微分法作为第二种方法，但此处未执行。

直观解释

步骤

公式
解释
确定目标导数 $\partial z/\partial u$ 并注意 $z$ 依赖于 $u$ 通过 $x$ 和 $y$ 。
步骤依据
第(b)问的题目设定说明。
视频直接表达
公式
解释
绘制依赖关系图：顶部为 $z$ ，中部为 $x$ 和 $y$ ，底部为 $u$ 和 $v$ 。
步骤依据
教师明确借助图像梳理变量间的依赖关系，再应用链式法则。
视频直接表达
公式
解释
读出从 $z$ 到 $u$ 有两条路径： $z\to x\to u$ 和 $z\to y\to u$ 。
步骤依据
图中清晰可见的箭头结构。
依据视频推导

结论

该片段建立了对 $\partial z/\partial u$ 应用链式法则的结构框架，但未写出导数公式，也未计算结果。

利用链式法则推导∂z/∂u

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师借助依赖关系图讲解链式法则，并逐步计算每个偏导数。
公式
观察依据
教师在黑板上写出完整推导过程。

严格证明

步骤

公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$
解释
在依赖关系图中，从z到u有两条路径： $z\to x\to u$ 和 $z\to y\to u$ ；应用链式法则，对这两条路径对应的项求和。
步骤依据
多元函数的链式法则
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$
解释
计算 $z = x^2 + y^2$ 关于x的偏导数。
步骤依据
偏微分的幂法则
视频直接表达
公式
$\frac{\partial x}{\partial u} = 2u$
解释
计算 $x = u^2 - v^2$ 关于u的偏导数。
步骤依据
偏微分的幂法则
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y$
解释
计算 $z = x^2 + y^2$ 关于 y 的偏导数。
步骤依据
偏微分的幂法则。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial y}{\partial u} = v$
解释
计算 y = uv 关于 u 的偏导数。
步骤依据
乘积法则／将 v 视为常数。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = (2x)(2u) + (2y)(v)$
解释
将已求得的偏导数代入链式法则公式。
步骤依据
代数代入。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = 4ux + 2vy$
解释
化简该表达式。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达

结论

偏导数 ∂z/∂u 是 4ux + 2vy。

通过将全微分变换为 $\partial z/\partial u$ 形式来推导 $du,dv$ ，

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右列依次显示 $dz=2x dx+2y dy$ 、 $dx=2u du-2v dv$ 、 $dy=v du+u dv$ ，然后是代入并合并后的表达式。
声音
观察依据
讲解明确将该过程表述为：先代入，再展开，最后合并同类项。

严格证明

步骤

公式
$dz = 2x dx + 2y dy$
解释
从 $z$ 关于原始变量 $x$ 和 $y$ 的全微分出发。
步骤依据
这是第(a)小题中左侧展示的公式，并在右侧重复呈现。
视频直接表达
公式
$dx = 2u du - 2v dv$
解释
将中间变量 $x$ 的微分用 $u$ 和 $v$ 表示出来。
步骤依据
教师指出 $x$ 是 $u$ 和 $v$ 的函数，并将该微分式写在黑板上。
视频直接表达
公式
$dy = v du + u dv$
解释
将中间变量 $y$ 的微分用 $u$ 和 $v$ 表示出来。
步骤依据
教师提醒观众注意 $y=uv$ ，并应用乘积的微分法则。
视频直接表达
公式
$dz = 2x(2u du - 2v dv) + 2y(v du + u dv)$
解释
将 $dx$ 和 $dy$ 的表达式代入 $dz$ 的公式中。
步骤依据
这是对先前已确立的微分恒等式的直接代入。
视频直接表达
公式
$dz = (4xu + 2yv)du + (2yu - 4xv)dv$
解释
展开乘积，并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。
步骤依据
代数分配律与同类微分项的归并，得到屏幕上显示的最终行。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = 4xu + 2yv$
解释
将 $du$ 的系数识别为 $z$ 关于 $u$ 的偏导数。
步骤依据
授课教师明确指出， $\partial z/\partial u$ 的一种定义即为此系数。
视频直接表达

结论

通过将 $dz$ 改写为 $du,dv$ 基下的表达式，得到 $du$ 的系数为 $4xu+2yv$ ，视频中将其等同于 $\partial z/\partial u$ 。

黑板左侧展示的链式法则直接计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左侧部分（b）显示 $\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}=2x\cdot 2u+2y\cdot v=4ux+2vy$ 。

待核验内容

该片段并未单独口述此预先写好的左侧计算中的每个符号；它全程可见于黑板上。

严格证明

步骤

公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$
解释
写出 $z$ 关于 $u$ 通过 $x$ 和 $y$ 。
步骤依据
此即位于依赖关系图旁、部分（b）下方所显示的公式。
视频直接表达
公式
$= 2x \cdot 2u + 2y \cdot v$
解释
代入例题中可见的具体偏导数。
步骤依据
黑板上使用了 $\partial z/\partial x=2x$ 、 $\partial z/\partial y=2y$ 、 $\partial x/\partial u=2u$ 和 $\partial y/\partial u=v$ 。
视频直接表达
公式
$= 4ux + 2vy$
解释
对每一项进行乘法运算并化简。
步骤依据
初等代数给出了屏幕上显示的化简结果。
视频直接表达

结论

左侧的例题通过链式法则直接计算出 $\partial z/\partial u=4ux+2vy$ ，所得系数与右侧全微分代入法所得系数一致。

从全微分出发推导 $\frac{\partial z}{\partial u}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出等式两边是同一表达式，并标出 du 的系数。
公式
观察依据
黑板显示 $dz = 2x$ (2u du - 2v dv) + 2y(v du + u dv) = (4xu+2vy)du + (2yu-4xv)dv，且 $dz = \frac{\partial z}{\partial u}$ du + $\frac{\partial z}{\partial v}$ dv。
图示
观察依据
教师圈出 (4xu+2vy)，随后将第二项更正为 2vy。

待核验内容

本片段未明确给出原始函数 $z(x,y)$ 的具体形式，但所展示的偏导数暗示 $z_x = 2x$ 且 $z_y = 2y$ 。

严格证明

步骤

公式
$dz = 2x\,dx + 2y\,dy$
解释
从黑板上已写出的、以中间变量 x 和 y 表示的 z 的全微分出发。
步骤依据
依据本课前半部分黑板上的演算过程。
视频直接表达
公式
$dx = 2u\,du - 2v\,dv,\quad dy = v\,du + u\,dv$
解释
将 x 和 y 的微分用独立变量 u 和 v 表示并代入。
步骤依据
依据本课前半部分黑板上的演算过程。
视频直接表达
公式
$dz = 2x(2u\,du - 2v\,dv) + 2y(v\,du + u\,dv)$
解释
将 dx 和 dy 的表达式代入 dz 的公式中。
步骤依据
代数代入。
视频直接表达
公式
$dz = (4xu + 2vy)\,du + (2yu - 4xv)\,dv$
解释
合并 du 和 dv 的系数。
步骤依据
展开并合并同类微分项。
视频直接表达
公式
$dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$
解释
将相同的微分写成标准全微分形式。
步骤依据
关于 u 和 v 的全微分定义。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = 4xu + 2vy$
解释
比较 dz 的两个表达式中 du 的系数。
步骤依据
同一微分的两种表示相等，意味着其对应系数也相等。
视频直接表达

结论

偏导数 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 可直接从展开后的全微分中 du 的系数读出，即 4xu+2vy。

将全微分结果与链式法则计算结果进行比对。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们回到黑板中部，会发现得到的结果一致。所以是 4xu 加 2vy……再回到黑板中部，这正是我们再次得到的结果。”
公式
观察依据
黑板中部显示 $\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\cdot 2u + 2y\cdot v = 4$ xu + 2vy。

数值验证

步骤

公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$
解释
对以 x 和 y 为中间变量、且 x 和 y 均依赖于 u 的函数 z，应用链式法则。
步骤依据
黑板中部展示了多变量链式法则。
视频直接表达
公式
$= 2x\cdot 2u + 2y\cdot v$
解释
代入黑板上所列的各偏导数值。
步骤依据
黑板上已写好的数值。
视频直接表达
公式
$= 4xu + 2vy$
解释
化简乘积。
步骤依据
基础代数。
视频直接表达
公式
$4xu + 2vy = 4xu + 2vy$
解释
与全微分法所得系数进行比较。
步骤依据
对两个结果直接比较。
视频直接表达

结论

依赖图／链式法则计算所得的∂z/∂u值，与从全微分中提取的系数一致。

例题详解 · 4

例题讲解：全微分及链式法则计算的起始步骤

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师引入问题，完成第(a)问，并以依赖关系图开始第(b)问。
公式
观察依据
黑板上显示 $z=x^2+y^2$ 、 $x=u^2-v^2$ 、 $y=uv$ 、第(a)问的 $dz=z_xdx+z_ydy=2xdx+2ydy$ ，以及第(b)问的目标 $\partial z/\partial u$ 。

待核验内容

本片段未完成第(b)问。
题目所要求的、使用全微分的第二种方法在此处未展示。

题目

已知 $z=x^2+y^2$ ， $x=u^2-v^2$ ，和 $y=uv$ ，(a) 用 $dz$ 表示全微分 $dx,dy$ ；(b) 用链式法则和微分两种方法计算 $\partial z/\partial u$ 。

已知条件

对应的式子为： $z=x^2+y^2$
对应的式子为： $x=u^2-v^2$
对应的式子为： $y=uv$
第(a)问要求 $dz$ 仅用 $dx$ 和 $dy$ 表示。
第(b)问要求用两种方法求出 $\partial z/\partial u$ 。

目标

完成第(a)问，并为第(b)问建立初步框架。

步骤

公式
$dz = z_x\,dx + z_y\,dy$
解释
写出二元函数的全微分通用公式。
步骤依据
教师在第(a)问开始时给出的公式。
视频直接表达
公式
$z_x = 2x,\quad z_y = 2y$
解释
计算 $z=x^2+y^2$ 的偏导数。
步骤依据
对 $x$ 和 $y$ 直接求导。
视频直接表达
公式
$dz = 2x\,dx + 2y\,dy$
解释
将偏导数代入全微分公式，完成第(a)问。
步骤依据
代数代入。
视频直接表达
公式
解释
在第(b)问中，引入一个依赖关系图： $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，而 $x$ 和 $y$ 均依赖于 $u$ 和 $v$ 。
步骤依据
教师指出，该图用于在应用链式法则前理清各变量之间的依赖关系。
视频直接表达

结果

第(a)小题： $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 。第(b)小题：本片段仅展示了依赖关系图的构建过程；未得出 $\partial z/\partial u$ 的最终数值结果。

检验

第(a)小题可通过将代入后的表达式与通式 $dz=z_xdx+z_ydy$ 进行比对来验证。第(b)小题中，可见的图示确认了从 $z$ 到 $u$ 存在两条间接路径，但本片段未提供最终导数的数值或符号化验证。

用链式法则计算 ∂z/∂u。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板显示问题设定：设 $z = x^2 + y^2$ ， $x = u^2 - v^2$ ，y = uv。
声音
观察依据
教师逐步演算第 b）问，用链式法则计算 ∂z/∂u。

题目

已知 $z = x^2 + y^2$ ， $x = u^2 - v^2$ ，y = uv，利用链式法则和依赖关系图计算 ∂z/∂u。

已知条件

z 等于 x 的2次方加上 y 的2次方
x 等于 u 的2次方减去 v 的2次方
y 等于 u 乘以 v

目标

计算 ∂z/∂u。

步骤

公式
$\text{Draw dependency graph: } z \to x, z \to y, x \to u, x \to v, y \to u, y \to v$
解释
找出变量之间的所有依赖关系。
步骤依据
链式法则的准备工作。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$
解释
根据从 z 到 u 的路径写出链式法则公式。
步骤依据
链式法则。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial x}{\partial u} = 2u,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial y}{\partial u} = v$
解释
利用所给公式分别计算每个偏导数。
步骤依据
求导法则。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = (2x)(2u) + (2y)(v) = 4ux + 2vy$
解释
代入并化简。
步骤依据
代数。
视频直接表达

结果

∂z/∂u 等于 4ux 加上 2vy

检验

教师指出这是偏导数，并说明混合变量是允许的。

例题：利用全微分计算 $\partial z/\partial u$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上呈现了一个完整的例题，左侧包含(a)和(b)两部分，右侧则给出一个平行推导过程。
声音
观察依据
教师逐步讲解右侧推导过程，从重复写出 $dz$ 开始，直至识别出 $du$ 的系数。

待核验内容

原始的 $z(x,y)$ 显式表达式并未在本片段中写出，但其偏导数 $2x$ 和 $2y$ 已被使用。

题目

已知 $dz=2x dx+2y dy$ ，且 $x$ 依赖于 $u,v$ 和 $y=uv$ ，将 $dz$ 重写为关于 $du,dv$ 的表达式，并从中读出 $\partial z/\partial u$ 。

已知条件

$dz = 2x dx + 2y dy$ 已显示。
$dx = 2u du - 2v dv$ 在黑板上被推导出来。
$dy = v du + u dv$ 由 $y=uv$ 推导得出。
依赖图显示 $z$ 在上方 $x,y$ ，它们在上方 $u,v$ 。

目标

将 $dz$ 用变量 $u$ 和 $v$ 表示，然后将 $du$ 的系数识别为 $\partial z/\partial u$ 。

步骤

公式
$dz = 2x dx + 2y dy$
解释
从原变量下 $z$ 的已知全微分出发。
步骤依据
这是教师重复陈述并写在右侧的起始公式。
视频直接表达
公式
$dx = 2u du - 2v dv$
解释
计算中间变量 $x$ 的微分。
步骤依据
教师指出 $x$ 是 $u$ 和 $v$ 的函数，并写下这一结果。
视频直接表达
公式
$dy = v du + u dv$
解释
计算 $y=uv$ 的微分。
步骤依据
教师明确写出 $y=uv$ 并对其乘积形式进行求导。
视频直接表达
公式
$dz = 2x(2u du - 2v dv) + 2y(v du + u dv)$
解释
将 $dx$ 和 $dy$ 的表达式代入 $dz$ 。
步骤依据
教师将此步骤描述为“仅代入”。
视频直接表达
公式
$dz = (4xu + 2yv)du + (2yu - 4xv)dv$
解释
展开并按 $du$ 和 $dv$ 合并同类项。
步骤依据
教师指示将所有内容展开，先合并含 $du$ 的项，再合并含 $dv$ 的项。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = 4xu + 2yv$
解释
读出 $du$ 的系数。
步骤依据
教师指出， $\partial z/\partial u$ 的一种定义就是这个系数。
视频直接表达

结果

$dz = (4xu + 2yv)du + (2yu - 4xv)dv$ ，因此 $\frac{\partial z}{\partial u}=4xu+2yv$ 。

检验

该结果与预先写好的左侧链式法则计算 $\frac{\partial z}{\partial u}=2x\cdot 2u+2y\cdot v=4ux+2vy$ 一致。

例题：用两种方法计算∂z/∂u。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板显示： $dz = 2x dx + 2y dy$ ， $dx = 2u$ du - 2v dv， $dy = v$ du + u dv，以及链式法则行：∂z/∂u = ∂z/∂x·∂x/∂u + ∂z/∂y·∂y/∂ $u = 2x\cdot 2u + 2y\cdot v = 4$ xu + 2vy。
声音
观察依据
教师将系数法与黑板中部的链式法则结果进行比较。

待核验内容

本片段未明确给出原始函数 $z(x,y)$ 、 $x(u,v)$ 、 $y(u,v)$ ；仅可见其微分数据。

题目

对于所示的复合结构（z依赖于x和y，而x、y又依赖于u和v），计算∂z/∂u。

已知条件

$dz = 2x dx + 2y dy$
$dx = 2u$ \,du - 2v\,dv
dy 等于 v 乘以 du 加上 u 乘以 dv
∂z/∂x 等于2x，∂z/∂y 等于2y，∂x/∂u 等于2u，∂y/∂u 等于 v

目标

求 ∂z/∂u。

步骤

公式
$dz = 2x(2u\,du - 2v\,dv) + 2y(v\,du + u\,dv)$
解释
将 dx 和 dy 代入 dz 的全微分表达式。
步骤依据
根据给定的微分关系直接代入。
视频直接表达
公式
$dz = (4xu + 2vy)du + (2yu - 4xv)dv$
解释
展开并合并 du 和 dv 的项。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = 4xu + 2vy$
解释
从全微分中读出 du 的系数。
步骤依据
标准形式：dz = (∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv。
视频直接表达
公式
$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 2x\cdot 2u + 2y\cdot v = 4xu + 2vy$
解释
通过依赖关系图，用链式法则验证结果一致。
步骤依据
黑板上展示多元链式法则。
视频直接表达

结果

∂z/∂u 等于 4xu 加上 2vy

检验

教师将关于 du 的系数结果与黑板中部的链式法则计算结果进行核对，并指出二者一致。

图示与动画 · 12

课程标题幻灯片

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
标题幻灯片显示文字：“微积分”、“多变量微积分”、“大卫·乔丹”以及“全微分与链式法则”，并带有麻省理工学院（MIT）标识。

图中对象

标题文字
麻省理工学院（MIT）标志
课程品牌标识

变化过程

静态幻灯片持续显示，直至切换至黑板画面。

不变量

幻灯片上未展示任何数学推导过程。

数学含义

幻灯片指出本讲主题为多变量微积分中的全微分与链式法则。

黑板上的初始问题陈述

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板上显示了完整的题目： $z=x^2+y^2$ ， $x=u^2-v^2$ ， $y=uv$ ，其中第(a)问要求用 $dz$ 表示 $dx,dy$ ，第(b)问要求用两种方式表示 $\partial z/\partial u$ 。
声音
观察依据
教师口头讲解了相同的题目设定，并邀请观众暂停视频、自行尝试解答。

图中对象

给定的方程
第（a）问的提示
第（b）问的提示
教师指向黑板

变化过程

教师在讲解设定含义时，依次指向不同行

不变量

此时间段内，所写的题目陈述保持不变

数学含义

该图示建立了复合依赖结构，这一结构正是全微分与链式法则的共同动机

写出第（a）问的解答过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
教师写下 $dz = z_x dx + z_y dy$ ，然后在其下方写下 $= 2x dx + 2y dy$
声音
观察依据
他口述全微分的含义以及各偏导数的取值

图中对象

$dz$ 的公式行
代入直线 $2x dx + 2y dy$

变化过程

首先写出一般公式，然后在其下方代入具体的偏导数。

不变量

仅 $x$ 和 $y$ 出现在第 (a) 问的最终表达式中： $dz$ 。

数学含义

视觉序列展示了将全微分公式直接应用于给定函数的过程。

链式法则依赖图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
教师绘制了一张图：顶部为 $z$ ，箭头指向 $x$ 和 $y$ ，另有从 $x$ 和 $y$ 分别向下指向 $u$ 和 $v$ 的箭头。
声音
观察依据
他说明这是用于梳理变量间依赖关系以应用链式法则的依赖图。

待核验内容

该图已绘制完整，但在片段结束前，尚未写出由此图推导出的链式法则公式。

图中对象

节点 $z$
节点 $x$ 和 $y$
节点 $u$ 和 $v$
有向箭头

变化过程

该图从上到下逐层构建。

不变量

依赖关系模式是固定的： $z$ 依赖于 $x,y$ ； $x,y$ 依赖于 $u,v$ 。

数学含义

该图示编码了在链式法则下对 $\partial z/\partial u$ 有贡献的所有路径。

z、x、y、u、v 的依赖关系图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板上画出一个依赖关系图：z 在顶部，箭头向下指向 x 和 y；x 和 y 各有箭头向下指向 u 和 v。

图中对象

z
x
y
u
v
箭头

变化过程

教师在讲解链式法则时，指向路径 $z\to x\to u$ 和 $z\to y\to u$ 。

不变量

图的结构在整个视频片段中保持不变。

数学含义

该图以视觉方式编码了函数依赖关系：z 依赖于 x 和 y；x 和 y 各自依赖于 u 和 v；从 z 到 u 的每一条路径，对应链式法则求和式中的一个项。

两栏式板书结构，对比公式与推导过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑板分为左侧已完成的总结区和右侧实时推导区；左侧包含小题（a）、（b）及一个依赖关系图，右侧内容在视频片段中逐步填写。

图中对象

左侧小题（a）： $dz=z_x dx+z_y dy=2x dx+2y dy$
左侧小题（b）：链式法则公式及其化简结果
依赖关系图，节点为 $z,x,y,u,v$
右栏：依次写出 $dz$ 关于 $du,dv$ 的推导过程

变化过程

右侧推导从 $dz=2x dx+2y dy$ 开始，接着是 $dx=2u du-2v dv$ ，再是 $dy=v du+u dv$ ，最后是代入并合并后的表达式。
教师反复在右侧微分式与左侧链式法则公式之间指明对应关系。

不变量

左侧的公式与依赖关系图在整个片段中始终可见。
总体目标保持不变：表达 $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的依赖关系。

数学含义

版式在视觉上将左侧的一般性规则与总结性计算，同右侧的逐步微分代换分隔开来，从而明确揭示链式法则求导与全微分运算之间的等价性。

复合函数的依赖关系图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一张带标签的图显示：顶部为 $z$ ，其下方为 $x$ 和 $y$ ，底部为 $u$ 和 $v$ ，箭头表示依赖关系。

图中对象

节点 $z$
节点 $x$ 和 $y$
节点 $u$ 和 $v$
从 $u,v$ 指向 $x,y$ 以及从 $x,y$ 指向 $z$ 的有向边

变化过程

片段中无任何变化；该图是静态参考材料。

不变量

该图始终表示 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，且 $x,y$ 依赖于 $u,v$ 。

数学含义

该图编码了链式法则背后的复合结构：每一条从 $u$ 通向 $z$ 的路径，都为 $\partial z/\partial u$ 贡献一个乘积项。

写出标准的全微分形式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
教师一边讲解，一边在黑板右侧写下 dz = ∂z/∂u du + ∂z/∂v dv。

图中对象

黑板右侧
粉笔
教师的手

变化过程

为 dz 新写一行。
项 ∂z/∂u du 和 ∂z/∂v dv 依次出现。

不变量

先前写下的展开后的 dz 表达式仍保留在黑板上可见。

数学含义

这一视觉呈现过程引出了标准形式：通过识别 du 和 dv 的系数来确定相应的偏导数。

圈出 du 的系数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
教师圈出系数（4xu+2vy），并指向它与新写出的 ∂z/∂u 之间的对应关系。
声音
观察依据
他指出，所求的偏导数等于该系数。

图中对象

展开后的 dz 表达式
系数（4xu+2vy）
标准形式的 dz 表达式

变化过程

系数（4xu+2vy）被圈出。
视线从被圈出的项转向 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。

不变量

微分表达式的其余部分在圈出过程中保持不变。

数学含义

这一手势直观地表达了如下规则：对 u 的偏导数即为 du 前面的系数。

du 系数的板上修正

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这里应该是 v，其中一个是 x……是 y 吗？2vy。”
动画
观察依据
教师暂停讲解，回头看向黑板，并将被圈出系数中的第二项更正为2vy。

待核验内容

根据现有画面，更正前手写的字符无法完全辨认，但教师的口头更正明确了最终应为2vy。

图中对象

圆圈标注的系数（4xu+2vy）

变化过程

教师修订了该系数中的第二项。
最终被采纳的表达式为 4xu+2vy。

不变量

第一项 4xu 保持不变。
读取 du 系数的整体方法保持不变。

数学含义

此环节展示了在最终确定 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 之前，对代数运算过程所作的错误核查。

跨板一致性核查

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
教师用手指从右侧系数指向中间黑板上的链式法则计算过程。
声音
观察依据
他指出，两者结果一致，均为 4xu+2vy。

图中对象

右侧系数
中间黑板上的链式法则公式

变化过程

视线与指示动作从右侧黑板转向中间黑板。
同一代数表达式在两处被高亮显示。

不变量

两个计算都涉及 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 。

数学含义

视觉对比表明：全微分系数法与依赖图链式法则所得导数相同。

依赖图用作计算过程的概要总结

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧黑板展示一张依赖图：z 位于顶部，x 与 y 居中，u 与 v 在底部，各节点之间由有向边连接。
声音
观察依据
教师讲解如何追踪从 z 到 u 的所有路径，并沿每条边将对应的偏导数相乘。

图中对象

节点：z、x、y、u、v
有向边

变化过程

教师在讲解更快捷的方法时，同时参照该图。

不变量

本片段中，图的结构本身不发生变化。

数学含义

该图编码了链式法则的分解：从 z 到 u 的每一条路径对应 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 中的一个加性项。

易错点 · 8

混淆第(a)问中允许使用的变量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解第(a)问时，教师说：“因此u和v不会出现在这个问题中。”

误区

有人可能认为辅助变量 $u$ 和 $v$ 应当已经出现在第(a)问的答案中。

说明

第 (a) 问仅要求用 $dz$ 表示 $dx$ 和 $dy$ ，因此正确的中间步骤答案是 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ ，暂不代入 $x(u,v)$ 和 $y(u,v)$ 。

应用链式法则时未追踪变量间的依赖关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师表示，每当思考链式法则时，他都喜欢画一张依赖关系图。
图示
观察依据
该图在写出任何公式之前，就已区分了 $z$ 、 $x$ 、 $y$ 、 $u$ 和 $v$ 各自的角色。

误区

有人可能试图直接对 $\partial z/\partial u$ 求导，而未先识别出从 $z$ 到 $u$ 的所有中间路径。

说明

视频演示了一种更稳妥的做法：先用图示梳理依赖结构，再据此确定链式法则展开式中应包含哪些项。

认为所有中间变量都必须被消去

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“我可以将 x 替换为其关于 u 和 v 的表达式，但这其实并不必要……我对这种含有混合变量的答案完全满意。”

误区

学生可能认为，在应用链式法则后，必须始终将 x 和 y 代回为关于 u 和 v 的表达式，才能得到‘最终’答案。

说明

教师明确指出，将答案保留为混合变量形式（例如 4ux + 2vy）是可接受的，而且往往更优，因为它清晰展现了各微分量之间如何相互依赖。

将链式法则视作一个完整的概念性解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“不知怎的，这个链式法则，对我来说就只是一套操作步骤，它并不是一种解释。”

误区

学生可能把链式法则公式当成一个不言自明的概念，而非一种计算流程。

说明

教师将链式法则区分为一种快捷的操作步骤，而将全微分视为更能阐明变量间依赖关系的解释方式。

误以为第二阶段需要引入新的求导法则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“这件事的好处在于，一旦你完成了这些计算，接下来就只是代入了。”随后又说：“你看，这仅仅是代入而已。”

误区

在计算出 $dx$ 和 $dy$ 之后，人们可能认为还需要另一步概念性操作，才能找出 $z$ 如何依赖于 $u$ 和 $v$ 。

说明

视频强调：一旦列出了相关的全微分，后续工作就只是将它们代入 $dz=2x dx+2y dy$ 进行代数运算。

忽视偏导数作为系数的含义这一错误

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说：“偏导数 $\partial z/\partial u$ 的一种定义，就是这个系数。”
公式
观察依据
他指向 $du$ 在最终表达式中的乘数 $dz$ 。

误区

人们可能仅把 $dz$ 的展开式视作一种代数化简，而忽略其实际意义。

说明

该片段明确指出：在重写后的全微分中， $du$ 的系数即为 $\partial z/\partial u$ 。

假设全微分法仅计算题目所要求的导数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
它涉及计算大量导数，而这些导数实际上并未出现在最终答案中。例如，在计算全微分时，我们最终得到了∂z/∂v的表达式，尽管题目并未要求我们求出它。

误区

人们可能预期，全微分法只会恰好给出题目所要求的那个导数。

说明

在此例中，将dz完全用du和dv重写，会自动同时得到两个系数，因此即使题目只要求∂z/∂u，∂z/∂v仍会自然出现。

在代数合并项的过程中误读变量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“那应该是v，其中一个是x……是y吗？2vy。”
动画
观察依据
教师暂停并更正圆圈标出的系数中的变量。

误区

在展开与合并项时，某个变量可能被无意写成错误的符号（例如将y写成x）。

说明

教师发现这一口误，并将系数更正为4xu+2vy，随后将其用作∂z/∂u。

概念关系 · 17

本例的复合变量设定 → 二元函数的全微分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在写出 $z=x^2+y^2$ 之后，教师立即在第(a)问中应用全微分公式。
公式
观察依据
板书从给定函数过渡到 $dz=z_xdx+z_ydy=2xdx+2ydy$ 。

应用

解释

显式函数 $z=x^2+y^2$ 是第(a)问中应用全微分公式的对象。

二元函数的全微分 → 第(a)问的结果

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
一般公式 $dz=z_xdx+z_ydy$ 通过已计算出的偏导数特化为 $dz=2xdx+2ydy$ 。

应用

解释

第(a)问的结果是将一般全微分公式代入本例的具体偏导数后得到的。

本例的复合变量设定 → 作为链式法则辅助工具的依赖关系图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师专门引入依赖关系图，以梳理问题设定中已存在的变量依赖关系。
图示
观察依据
图中的节点恰好对应设定中的变量： $z$ 、 $x$ 、 $y$ 、 $u$ 、 $v$ 。

应用

解释

依赖关系图是对同一复合依赖关系的可视化重组，该依赖关系由 $z=x^2+y^2$ 、 $x=u^2-v^2$ 和 $y=uv$ 共同编码。

作为链式法则辅助工具的依赖关系图 → $\frac{\partial z}{\partial u}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，该图用于思考关于 $\partial z/\partial u$ 的链式法则时。
图示
观察依据
所画箭头显示了两条从 $z$ 通向 $u$ 的路径：一条经由 $x$ ，另一条经由 $y$ 。

待核验内容

本片段中并未写出实际的链式法则公式。

应用

解释

依赖关系图被作为组织工具引入，用以借助链式法则计算目标导数 $\partial z/\partial u$ 。

借助依赖关系图的链式法则 → z、x、y、u、v 的依赖关系图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师说，我们必须遍历所有从 z 到 u 的依赖图路径。

应用

解释

链式法则的运用方式，就是从依赖图中读取所有路径。

$z(x,y)$ 的全微分公式 → 借助依赖关系图的链式法则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师表示链式法则是最快的方法，但他更喜欢全微分，因为全微分在解释上更清晰。

对比

解释

全微分与链式法则形成对比：链式法则在计算上更快，而全微分则在变量依赖关系的概念理解上更为清晰。

$z$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的全微分 → 关于的链式法则 $\partial z/\partial u$ 通过中间变量 $x$ 以及 $y$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右侧推导从 $dz=2x dx+2y dy$ 开始，并通过读取 $\partial z/\partial u$ 来自于 $du$ 。
公式
观察依据
左侧单独展示了 $\partial z/\partial u$ 的链式法则公式。

应用

解释

全微分公式是被变换的起始对象；链式法则公式则是从变换后的微分中还原出的导数恒等式。

中间变量 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。 → 将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
$dx=2u du-2v dv$ 和 $dy=v du+u dv$ 写在 $dz$ 的代入表达式之前。
声音
观察依据
教师指出下一步是将 $dx$ 和 $dy$ 的公式代入。

先修

解释

必须先获得 $x$ 关于 $u,v$ 的微分，才能将其代入 $dz$ 。

中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。 → 将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
$dy=v du+u dv$ 紧接在 $dz$ 的代入表达式之前写出。
声音
观察依据
教师推导出 $dy$ 来自于 $y=uv$ ，然后在下一行中使用它。

先修

解释

的微分 $y$ 关于 $u,v$ 也需先求出，然后才能完成对 $dz$ 的完整代入。

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。 → 展开并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书从 $dz=2x(2u du-2v dv)+2y(v du+u dv)$ 过渡到 $dz=(4xu+2yv)du+(2yu-4xv)dv$ 。
声音
观察依据
教师要求将所有内容展开，并合并含 $du$ 和 $dv$ 的项。

应用

解释

代入产生一个未化简的表达式；合并同类微分项后，它转化为可直接读取偏导数所需的系数形式。

展开并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。 → 从 $\partial z/\partial u$ 的系数中读取 $du$ ： $dz$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在合并后的表达式中， $du$ 的系数是 $4xu+2yv$ 。
声音
观察依据
教师将该系数识别为 $\partial z/\partial u$ 。

包含

解释

合并后的表达式包含了所需信息，从中可提取关于 $u$ 的偏导数，即 $du$ 的系数。

通过将全微分变换为 $\partial z/\partial u$ 形式来推导 $du,dv$ ， → 黑板左侧展示的链式法则直接计算

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
左侧部分（b）展示了 $\partial z/\partial u=4ux+2vy$ 。
公式
观察依据
右侧推导得出 $du$ 的系数为 $4xu+2yv$ 。

待核验内容

这一等价关系是通过比较屏幕上显示的两个结果而得出的；该片段中并未出现明确说明两边相等的口头陈述。

等价

解释

全微分代入法与直接使用链式法则计算所得的 $\partial z/\partial u$ 表达式相同。

问题定位 · 21

函数 $dz$ 的全微分公式是什么？ $z(x,y)$ ?

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师定义了全微分，并将公式写在黑板上。
公式
观察依据
$dz = z_x dx + z_y dy$ 显式出现。

涉及知识点

二元函数的全微分
第(a)问的结果

如何计算 $dz$ 关于 $z=x^2+y^2$ 的表达式，其中用到 $dx$ 和 $dy$ ?

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上展示了第(a)问的完整答案 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 。

涉及知识点

二元函数的全微分
第(a)问中全微分的推导过程。
例题讲解：全微分及链式法则计算的起始步骤

为什么第(a)问不将 $x=u^2-v^2$ 和 $y=uv$ 代入 $dz$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师指出，在第(a)问中， $u$ 和 $v$ 不会参与计算。

涉及知识点

混淆第(a)问中允许使用的变量
本例的复合变量设定

依赖关系图在链式法则中有什么作用？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师称该图示为依赖关系图，并说明它用于梳理变量之间的依赖关系。
图示
观察依据
该图示显示了从 $z$ 到 $x,y$ 再到 $u,v$ 的有向箭头关系。

涉及知识点

作为链式法则辅助工具的依赖关系图
链式法则依赖图

视频如何用链式法则开始计算 $\partial z/\partial u$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师宣布第(b)问将使用链式法则计算 $\partial z/\partial u$ 。
图示
观察依据
该图揭示了从 $z$ 到 $u$ 的两条路径，分别经过 $x$ 和 $y$ 。

待核验内容

本片段未展示最终的链式法则表达式。

涉及知识点

作为链式法则辅助工具的依赖关系图
开始计算 $\partial z/\partial u$ 的链式法则。
$\frac{\partial z}{\partial u}$

如何利用依赖图对 ∂ $z/u$ 应用链式法则？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师讲解如何利用链式法则和依赖图计算 ∂ $z/u$ 。

涉及知识点

借助依赖关系图的链式法则
利用链式法则推导∂z/∂u
z、x、y、u、v 的依赖关系图

将链式法则的结果保留为含 x 和 u 等混合变量的形式是否可以接受？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师表示混合变量的答案是可以接受的，无需代入消元。

涉及知识点

混用变量答案的可接受性
认为所有中间变量都必须被消去

为何在理解变量依赖关系时，全微分可能比链式法则更受青睐？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
教师将链式法则（最快、操作性强）与全微分（解释更清晰）进行了比较。

涉及知识点

$z(x,y)$ 的全微分公式
借助依赖关系图的链式法则
将链式法则视作一个完整的概念性解释
s180-cr-total-diff-vs-chain-rule

该片段开头所使用的 $z$ 的全微分公式是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示的是 $dz=z_x dx+z_y dy=2x dx+2y dy$ 。

涉及知识点

$z$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的全微分

视频如何表述 $\partial z/\partial u$ 的链式法则，当 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
部分（b）展示了 $\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$ 。

涉及知识点

关于的链式法则 $\partial z/\partial u$ 通过中间变量 $x$ 以及 $y$
关于 $u$ 的偏导数的多元链式法则

为什么讲师将 $dx$ 和 $dy$ 的公式代入 $dz$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师表示希望了解 $z$ 如何依赖于 $u$ 和 $v$ ，随后代入了 $dx$ 和 $dy$ 的表达式。

涉及知识点

中间变量 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。
中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。
将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

视频中是如何得到 $dy=v du+u dv$ 的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“请记住 $y$ 是 $uv$ 。因此，对 $d$ 取 $uv$ ，我们得到 $v du + u dv$ 。”

涉及知识点

中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 标题页标明主题为全微分与链式法则；尚未出现具体演算过程。

已覆盖 · 教师陈述了完整的题目设定及两项任务，并说明第(a)问仅使用 $dx,dy$ ，而第(b)问将采用两种方法。

已覆盖 · 第(a)问被显式求解：写出全微分公式，计算偏导数，并得出结果 $dz=2x\,dx+2y\,dy$ 。

已覆盖 · 第(b)问从引入链式法则的依赖关系图开始；本片段在导数公式或最终数值写出之前结束。

已覆盖 · 完整180秒片段涵盖：通过依赖图用链式法则计算 ∂ $z/u$ 、混合变量答案的可接受性，以及教师对链式法则与全微分的对比。

已覆盖 · 连续的白板讲解片段：教师重复 $dz=2x dx+2y dy$ ，将 $dx$ 和 $dy$ 用 $du,dv$ 表示，代入 $dz$ ，合并同类项，并指出 $du$ 的系数为 $\partial z/\partial u$ ；左侧同时展示链式法则公式、简化后的计算过程以及依赖关系图。

已覆盖 · 教师写出标准的全微分形式：dz = (∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv。

已覆盖 · 教师将∂z/∂u识别为du的系数，将该项更正为2vy，并得出4xu+2vy。

已覆盖 · 该结果与黑板中部的链式法则计算结果比对，二者表达式一致。

已覆盖 · 教师比较了依赖关系图法与全微分法，讨论了二者在速度、代数简洁性以及额外生成的导数方面的差异。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

全微分和链式法则 | MIT 18.02SC 多变量微积分，2010年秋季

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

问题设定：zzz对uuu和vvv的复合依赖关系

二元函数的全微分公式

第（a）问的演算结果：dz=2x dx+2y dydz=2x\,dx+2y\,dydz=2xdx+2ydy

依赖关系图：链式法则的组织工具

本片段完成与未完成的内容

通过依赖图理解链式法则

例题：计算 ∂z/∂u

允许答案中混用不同变量

链式法则与全微分

zzz关于xxx和yyy的全微分

∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u经由xxx和yyy的链式法则

xxx关于uuu和vvv的微分

y=uvy=uvy=uv关于uuu和vvv的微分

将dxdxdx和dydydy代入dzdzdz

合并dududu和dvdvdv的系数

从∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u的系数中读取dududu

复合函数的依赖关系图

关于u和v的全微分的标准形式

从du的系数中读取偏导数

关于 ∂z∂u\frac{\partial z}{\partial u}∂u∂z​ 的演算结果

利用依赖关系图进行链式法则验证

依赖关系图法与全微分法的对比

全微分法附带得出的额外偏导数

详细学习笔记

z

x

y

u

v

dz

dx

dy

zxz_xzx​

zyz_yzy​

∂z∂u\frac{\partial z}{\partial u}∂u∂z​

z

二元函数的全微分

本例的复合变量设定

作为链式法则辅助工具的依赖关系图

z(x,y)z(x,y)z(x,y) 的全微分公式

借助依赖关系图的链式法则

混用变量答案的可接受性

zzz关于变量xxx和yyy的全微分

关于的链式法则∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u通过中间变量xxx以及yyy

中间变量xxx关于uuu和vvv的微分。

中间变量y=uvy=uvy=uv关于uuu和vvv的微分。

将dxdxdx和dydydy代入zzz的全微分中。

展开并合并dududu和dvdvdv的系数。

z=x2+y2z=x^2+y^2z=x2+y2的偏导数

第(a)问的结果

关于uuu的偏导数的多元链式法则

以dududu的系数为特征刻画∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u

两个 dz 表达式的相等性

∂z/∂u 的系数识别

全微分法自动给出 ∂z/∂v

第(a)问中全微分的推导过程。

开始计算∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u的链式法则。

利用链式法则推导∂z/∂u

通过将全微分变换为∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u形式来推导du,dvdu,dvdu,dv，

黑板左侧展示的链式法则直接计算

从全微分出发推导 ∂z∂u\frac{\partial z}{\partial u}∂u∂z​

将全微分结果与链式法则计算结果进行比对。

例题讲解：全微分及链式法则计算的起始步骤

用链式法则计算 ∂z/∂u。

例题：利用全微分计算∂z/∂u\partial z/\partial u∂z/∂u

例题：用两种方法计算∂z/∂u。

课程标题幻灯片

黑板上的初始问题陈述

写出第（a）问的解答过程

链式法则依赖图

z、x、y、u、v 的依赖关系图

两栏式板书结构，对比公式与推导过程

复合函数的依赖关系图

写出标准的全微分形式

圈出 du 的系数

问题设定： $z$ 对 $u$ 和 $v$ 的复合依赖关系

第（a）问的演算结果： $dz=2x\,dx+2y\,dy$

$z$ 关于 $x$ 和 $y$ 的全微分

$\partial z/\partial u$ 经由 $x$ 和 $y$ 的链式法则

$x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分

$y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $dz$

合并 $du$ 和 $dv$ 的系数

从 $\partial z/\partial u$ 的系数中读取 $du$

关于 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 的演算结果

$z_x$

$z_y$

$\frac{\partial z}{\partial u}$

$z(x,y)$ 的全微分公式

$z$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的全微分

关于的链式法则 $\partial z/\partial u$ 通过中间变量 $x$ 以及 $y$

中间变量 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。

中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

展开并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。

$z=x^2+y^2$ 的偏导数

关于 $u$ 的偏导数的多元链式法则

以 $du$ 的系数为特征刻画 $\partial z/\partial u$

开始计算 $\partial z/\partial u$ 的链式法则。

通过将全微分变换为 $\partial z/\partial u$ 形式来推导 $du,dv$ ，

从全微分出发推导 $\frac{\partial z}{\partial u}$

例题：利用全微分计算 $\partial z/\partial u$

作为链式法则辅助工具的依赖关系图 → $\frac{\partial z}{\partial u}$

$z(x,y)$ 的全微分公式 → 借助依赖关系图的链式法则

$z$ 关于变量 $x$ 和 $y$ 的全微分 → 关于的链式法则 $\partial z/\partial u$ 通过中间变量 $x$ 以及 $y$

中间变量 $x$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。 → 将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

中间变量 $y=uv$ 关于 $u$ 和 $v$ 的微分。 → 将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。

将 $dx$ 和 $dy$ 代入 $z$ 的全微分中。 → 展开并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。

展开并合并 $du$ 和 $dv$ 的系数。 → 从 $\partial z/\partial u$ 的系数中读取 $du$ ： $dz$

通过将全微分变换为 $\partial z/\partial u$ 形式来推导 $du,dv$ ， → 黑板左侧展示的链式法则直接计算

函数 $dz$ 的全微分公式是什么？ $z(x,y)$ ?

如何计算 $dz$ 关于 $z=x^2+y^2$ 的表达式，其中用到 $dx$ 和 $dy$ ?

为什么第(a)问不将 $x=u^2-v^2$ 和 $y=uv$ 代入 $dz$ ？

视频如何用链式法则开始计算 $\partial z/\partial u$ ？

如何利用依赖图对 ∂ $z/u$ 应用链式法则？

该片段开头所使用的 $z$ 的全微分公式是什么？

视频如何表述 $\partial z/\partial u$ 的链式法则，当 $z$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ？

为什么讲师将 $dx$ 和 $dy$ 的公式代入 $dz$ ？

视频中是如何得到 $dy=v du+u dv$ 的？