一致连续：简介

1. 公式
   观察依据

   在定义和示例中写作 f。

f

一个将集合 E 映射到实数的函数。

从 E 到 R 的函数。

1. 公式
   观察依据

   在定义中写作 E。

E

函数 f 定义并用于判断一致连续性的定义域集合。

R 的子集。

1. 公式
   观察依据

   在定义和示例中写作 R。

R

实数集。

实数。

1. 公式
   观察依据

   在定义和证明中写作 epsilon。

$\varepsilon$

一个任意给定的正实数，表示函数值之差所允许的误差界限。

（0，$\infty$）

1. 公式
   观察依据

   在定义与证明中写作 δ。

$\delta$

表示输入值之差所允许的容差的一个正实数。

（0，$\infty$）

1. 公式
   观察依据

   在定义与证明中写作 x 和 y。

x, y

定义域集合 E（或示例中的 ℝ）中的任意元素。

E 或 ℝ 中的元素

1. 公式
   观察依据

   在示例 $f(x)$ = mx + b 中写作 m 和 b。

m, b

定义线性函数的常数，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。

实数

1. 公式
   观察依据

   预先写在黑板上的文字定义了函数 f: $E \to R$，并使用 $ε > 0$、$δ > 0$，以及对所有 x, $y \in E$，|x - y| < δ ⇒ |$f(x) - f(y)$| < ε。

2. 声音
   观察依据

   主讲人朗读否定命题为：‘存在一个大于零的 ε₀，使得对任意大于零的 δ，……在该集合中存在某些 x 和 y。’

f:E→R

从集合 E 到实数集的函数。

E 是当前讨论的定义域子集；陪域为 R。

1. 公式
   观察依据

   黄色线条写出 ∃ ε₀ > 0。

2. 声音
   观察依据

   ‘ε₀ 大于零’。

ε₀

一个固定的正容差，用以见证一致连续性的失败。

对应的式子为：ε₀ ∈ (0, $\infty$)。

1. 公式
   观察依据

   黄色线条写出‘对所有 $δ > 0$’。

2. 声音
   观察依据

   ‘对所有 δ 大于零’。

δ

否定命题中任意的正距离阈值。

对应的式子为：$δ \in (0, \infty )$。

1. 公式
   观察依据

   黄色直线写出数列 {$x_n$} 和 {$y_n$}，满足 |$x_n - y_n$| < $1/n$ 且 |$f(x_n) - f(y_n)$| ≥ ε₀。

2. 声音
   观察依据

   一对数列 $x_n$ 和 $y_n$……它们的差小于一除以 n，而 $f(x_n)$ 减去 $f(y_n)$ 大于或等于 epsilon 零。

{$x_n$}, {$y_n$}

用于将量化否定转化为序列检验的数列。

每个 $x_n$、$y_n \in E$（讲师口头说明时先泛述‘存在实数集 ℝ 中的某些 x 和 y’，再特化为 E 中的数列）。

1. 公式
   观察依据

   粉色直线写出例：$f(x) = x$² 在 ℝ 上不是一致连续的。

2. 声音
   观察依据

   例如，函数 $f(x) = x$² 在实数集 ℝ 上不是一致连续的。

$f(x)=x$²

一个具体函数例子，将用它来证伪 f 在 ℝ 上的一致连续性。

f 是从实数集到实数集的函数。

1. 公式
   观察依据

   定义：设 f: E → ℝ，若对每个 $ε > 0$，均存在 $δ > 0$，使得对所有 x, $y \in E$，只要 |x - y| < δ，就有 |$f(x) - f(y)$| < ε，则称 f 在 E 上一致连续。

若函数 f 将集合 E 映射到实数集，且对每个正数 ε，都存在一个正数 δ，使得 E 中任意两点 x 与 y 的绝对差小于 δ 时，其函数值 $f(x)$ 与 $f(y)$ 的绝对差必小于 ε，则称 f 在 E 上一致连续。

1. f 是从集合 E 到实数集的函数

2. ε 大于0

3. δ 大于 0

4. x、y 属于 E

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“现在，为了找出一个非一致连续函数的例子，我们需要进行如下操作。因此，让我来看一看此处这一命题的逻辑否定形式。”

2. 公式
   观察依据

   写作：f 不满足一致连续

1. 完整逻辑否定公式在所提供片段中未在黑板上写完。

要证明一个函数不是一致连续的，必须分析并运用一致连续性严格定义的逻辑否定形式。

1. 一致连续性的定义

1. 公式
   观察依据

   黄色文字：'若存在 ε₀ > 0，使得对任意 $δ > 0$，只要 |x - y| < δ，就有 |$f(x) - f(y)$| ≥ ε₀，则 f 在 E 上不一致连续，其中 x, $y \in E$。'

2. 声音
   观察依据

   讲师用自然语言陈述了相同的否定形式。

该视频明确写出一致连续性定义的逻辑否定：不是要求对每个 $ε > 0$，都存在某个 $δ > 0$，使得该 δ 对 E 中所有点对均适用；而是失败的情形意味着：存在某个正数 ε₀，使得无论 $δ > 0$ 取得多小，总能在 E 中找到一对 x, y，满足 |x - y| < δ，但 |$f(x) - f(y)$| ≥ ε₀。

1. f 是从集合 E 到实数集 R 的函数

2. 对应的式子为：ε₀ > 0

3. 对应的式子为：$δ > 0$

4. x、y 属于 E

1. 公式
   观察依据

   黄色文字：‘取 $δ = 1/n$，我们可以找到一对序列 {xₙ} 和 {yₙ}，满足 |xₙ − yₙ| < $1/n$，且 |f(xₙ) − f(yₙ)| ≥ ε₀’。

2. 声音
   观察依据

   如果我取一个逐渐变小的 δ 序列……令 δ 等于 〔one over n〕……我们就能找到……一对序列 $x_n$ 和 $y_n$……使得它们的差小于 〔one over n〕，且 $f(x_n)$ 减去 $f(y_n)$ 大于或等于 〔epsilon zero〕。

从量化否定出发，讲师推导出一个实用判据：对每个 n 取 $δ = 1/n$，则否定命题保证存在相应的一对 xₙ, yₙ ∈ E，使得 |xₙ − yₙ| < $1/n$，但 |f(xₙ) − f(yₙ)| ≥ ε₀。因此，非一致连续性可通过两列输入无限接近、但函数值始终至少相距 ε₀ 的序列来体现。

1. 使用前述一致连续性的否定表述

2. 对每个 n ∈ ℕ，取 $δ = 1/n$

1. 在 E 上不一致连续的否定表述

1. 公式
   观察依据

   粉色文字：‘例：$f(x) = x$² 在 ℝ 上不是一致连续的。’

2. 声音
   观察依据

   那么这里就是一个不是一致连续的函数的例子：函数 $f(x) = x$² 在实数集 ℝ 上不是一致连续的。

1. 完整验证未在此片段中完成；仅展示了设定与序列选取。

主讲人以 $f(x)=x$² 为具体例子，将应用序列判别法。他首先通过取 $y_n=n$ 构造见证序列，并初设 $x_n=n+1/n$；随后修正为 $x_n=n+2/n$，使得 |$x_n-y_n$|=$2/n$ 更小，但仍趋于 0。

1. 定义域是 ℝ

2. 目标是利用序列判别法证明一致连续性不成立

1. 一致连续性不成立的序列式重述

1. 公式
   观察依据

   黑板上方的绿色行定义了一致连续性：‘我们称 f: E → ℝ 在 E 上一致连续，如果对每个 $ε > 0$，都存在 $δ > 0$，使得对所有 x, $y \in E$，当 |x - y| < δ 时，有 |$f(x) - f(y)$| < ε。’

2. 声音
   观察依据

   本片段中口述的讲解聚焦于反例，而该定义始终显示在黑板上。

黑板给出标准的 ε-δ 定义：若函数 f: E → ℝ 满足——对任意给定的 ε，都能选出一个仅依赖于 ε（而不依赖于具体点）的 δ，使得 E 中任意两个距离小于 δ 的输入，其输出值之差的绝对值小于 ε，则称 f 在 E 上一致连续。

1. f 是从集合 E 到实数集 R 的函数

2. 对应的式子为：$ε > 0$

3. 对应的式子为：$δ > 0$

4. x、y 属于 E

1. 公式
   观察依据

   黄色文字说明：“若存在 ε₀ > 0，使得对任意 $δ > 0$，只要 |x - y| < δ，就有 |$f(x) - f(y)$| ≥ ε₀ 对所有 x, $y \in R$ 成立，则 f 在 E 上不一致连续。”

2. 声音
   观察依据

   在时间点00:56-01:09，讲师口头总结了同一思想：他找到了两列数列，其差的绝对值小于 $1/n$，但它们的平方值之差至少为某个固定的 ε₀，从而证明了非一致连续性。

1. 所展示的否定语句以 '∀x, $y \in R$' 结尾，尽管句子开头说的是 'on E'；该片段未解释这一不一致之处。

一致连续性的失效表现为：存在某个固定的正输出差距 ε₀，使得无论 δ 取得多小，总能找到两个距离小于 δ 的点，而它们的函数值之差至少为 ε₀。

1. 对应的式子为：ε₀ > 0

2. 对应的式子为：$δ > 0$

3. 见证点可能依赖于 δ

1. 在集合 E 上的一致连续性定义

1. 公式
   观察依据

   否定语句下方的黄色文字写道：“取 $δ = 1/n$，可找到两列数列 {$x_n$} 和 {$y_n$}，满足 |$x_n - y_n$| < $1/n$，且 |$f(x_n) - f(y_n)$| ≥ ε₀。”

2. 声音
   观察依据

   最后的口头总结明确使用这一数列形式，得出结论：$x^2$ 在 R 上不一致连续。

1. 黑板上写的是 'a sequences'，显然是一处轻微的措辞口误；数学上它指的是两列数列 {$x_n$} 和 {$y_n$}。

通过将 δ 取为 $1/n$，否定后的 ε-δ 条件可重述为：存在两个序列，其输入距离趋于 0，而输出距离始终不小于某个固定的 ε₀。

1. 使用一致连续性的否定形式

2. 取 $δ = 1/n$

3. 这两个序列必须位于函数的定义域内

1. 一致连续性的否定

1. 公式
   观察依据

   粉红色线条陈述：'存在 $f(x)$ = mx + b 在 ℝ 上一致连续'，并给出证明概要，其中选取 $δ = ε$ / |m|。

2. 公式
   观察依据

   所展示的计算为 '|mx + b - (my + b)| = |m||x - y| < |m|$δ = ε$'。

1. 黑板并未单独讨论 $m = 0$ 的情形，尽管公式 $δ = ε$ / |m| 隐含要求 $m \ne 0$。

对于 $f(x)$ = mx + b，输出差直接受输入差控制，比例因子为 |m|，因此选取 $δ = ε$ / |m| 可保证当 |x - y| < δ 时，恒有 |$f(x) - f(y)$| < ε。

1. $f(x)$ 等于 m 乘以 x 加 b

2. 定义域为 ℝ

3. 在所展示的证明中，$m \ne 0$，因为用到了 $δ = ε$ / |m|

1. 在集合 E 上的一致连续性定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上直接将预先写好的定义与黄色否定语句并列对比。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将该否定语句读作“在 E 上不一致连续”的条件。

函数 f:E→R 在 E 上不一致连续，当且仅当存在 ε₀>0，使得对任意 $δ>0$，都存在 x,$y\in E$ 满足 |x-y|<δ 且 |$f(x)-f(y)$|≥ε₀。

1. f 是从集合 E 到实数集 R 的函数

∃ε₀ > 0∀$δ > 0$ 存在 x, $y \in E$

1. 公式
   观察依据

   黄色语句写道：“取 $δ=1/n$，则可找到两列序列 {$x_n$} 和 {$y_n$}，满足 |$x_n-y_n$|<$1/n$ 且 |$f(x_n)-f(y_n)$|≥ε₀。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：验证这一条件，即可给出一个在 E 上不一致连续的函数实例。

若存在 ε₀>0 以及序列 {$x_n$}、{$y_n$}⊂E，使得对所有 n 都有 |$x_n-y_n$|<$1/n$ 且 |$f(x_n)-f(y_n)$|≥ε₀，则 f 在 E 上不一致连续。

1. f 是从集合 E 到实数集 R 的函数

2. 对应的式子为：ε₀>0

3. 对所有 n，$x_n$,$y_n\in E$

存在 ε₀>0 及序列 {$x_n$}、{$y_n$}，使得对所有自然数 n 成立

1. 公式
   观察依据

   紫色标题写道：“例如，$f(x)=x^2$在实数集 R 上不是一致连续的。”

2. 声音
   观察依据

   在时间点01:04-01:09，讲师指出，这证明了 $x^2$ 在实数轴上不是一致连续的。

存在序列 $x_n=n+1/(2n)$ 和 $y_n=n$，使得 |$x_n-y_n$|<$1/n$，而 |$x_n^2-y_n^2$|>1，因此 $f(x)=x^2$ 不满足 R 上的一致连续性条件。

1. 考虑定义在 R 上的函数 $f(x)=x^2$

2. 使用序列判据来验证一致连续性的失效

存在序列 {$x_n$}、{$y_n$} ⊂ R，使得对所有 n，均有 |$x_n-y_n$|<$1/n$，且 |$x_n^2-y_n^2$| ≥ ε₀（其中 ε₀ 为某个固定正数；此处可取 ε₀=1）。

1. 公式
   观察依据

   粉色文字断言：“$f(x)$=mx+b 在 R 上是一致连续的”，并展示了一个直接的 ε-δ 证明。

1. 所展示的证明选取 $δ=ε$/|m|，但未显式处理 $m=0$ 的情形。

对于定义在 R 上的 $f(x)$=mx+b，给定 $ε>0$，可选取 $δ=ε$/|m|，使得当 |$x-y$|<δ 时，必有 |$f(x)-f(y)$|<ε。

1. $f(x)$ 等于 m 乘以 x 加 b

2. 定义域为 ℝ

3. 在书面证明中，$m \ne 0$，因为出现了除以 |m| 的运算

对任意 $ε > 0$，存在 $δ > 0$，使得对所有实数 x、y，若 |x - y| < δ，则 |$f(x) - f(y)$| < ε。

1. 公式
   观察依据

   例：$f(x)$ = mx + b 在 ℝ 上一致连续。 证：设 $ε > 0$，取 $δ = ε$ / |m|。则当 |$x - y$| < δ 时，有 |mx + b − (my + b)| = |m||$x - y$| < |m|$δ = ε$。

1. 主讲人口头修正了 δ 的选取，指出需对 m 取绝对值，但最初书写的是 $δ = ε / m$。

1. 公式

   $$\text{Let } \varepsilon > 0 \text{ \text{且} choose } \delta = \frac{\varepsilon}{|m|}.$$
   解释

   通过根据给定的 epsilon 和线性函数的斜率选择一个特定的 delta，来构建证明。

   步骤依据

   一致连续性的定义要求：对任意给定的 epsilon，都能找到一个对应的 delta。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{If } |x - y| < \delta, \text{ then } |(mx + b) - (my + b)|$$
   解释

   计算定义在实数集 R 上的任意两点 x 与 y 处的函数值之差的绝对值。

   步骤依据

   代入函数定义 $f(x)$ = mx + b。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= |m(x - y)| = |m||x - y|$$
   解释

   提取公因子 m，并利用绝对值的性质化简表达式。

   步骤依据

   代数运算及绝对值的性质。

   视频直接表达
4. 公式

   $$< |m|\delta = |m|\left(\frac{\varepsilon}{|m|}\right) = \varepsilon$$
   解释

   应用假设 |x - y| < delta，并代入所选的 delta 值，从而证明结果严格小于 epsilon。

   步骤依据

   不等式性质与代入运算。

   视频直接表达

线性函数 $f(x)$ = mx + b 满足在全体实数集 R 上的一致连续性定义。

1. 声音
   观察依据

   因此，这意味着，如果我取一个逐渐变小的 δ 序列……令 δ 等于 〔one over n〕……我们就能找到……一对序列 xₙ 和 yₙ……

2. 公式
   观察依据

   黄板线记录了由此得到的序列条件。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从一致连续性的否定出发：存在 ε₀>0，使得对任意 $δ>0$，都可找到 x,$y\in E$ 满足 |$x-y$|<δ 且 |$f(x)-f(y)$|≥ε₀。

   步骤依据

   该定义即写在黑板正上方的内容。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\delta=\frac1n$$
   解释

   选取一族特定的递减容差 $δ=1/n$，其中每个自然数 n 对应一个容差。

   步骤依据

   由于否定命题对所有 $δ>0$成立，因此特别地对 $δ=1/n$ 也成立。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\exists x_n,y_n\in E:\ |x_n-y_n|<\frac1n,\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge \varepsilon_0$$
   解释

   对每个 n，将否定命题应用于 $δ=1/n$，得到一对 $x_n$, $y_n\in E$，满足两个不等式。

   步骤依据

   直接应用否定命题中 ∀$δ>0$ ∃x,$y\in E$ 的形式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   将所有 n 对应的这些点对收集起来，得到两个序列 {$x_n$} 和 {$y_n$}，其输入距离趋于 0，而输出距离则始终不小于 ε₀。

   步骤依据

   因为 $1/n\to 0$，条件 |$x_n-y_n$|<$1/n$ 迫使这两个序列任意接近；而下界 |$f(x_n)-f(y_n)$|≥ε₀ 则阻止了函数的一致控制。

   依据视频推导

一致连续性的失败可通过构造序列 {$x_n$}, {$y_n$}⊂E 来检验：其中 |$x_n-y_n$|→0，但 |$f(x_n)-f(y_n)$| 并不趋于 0；在视频所用形式中，要求 |$x_n-y_n$|<$1/n$ 且 |$f(x_n)-f(y_n)$|≥ε₀。

1. 公式
   观察依据

   粉笔字写出例题：$f(x)=x$² 在 ℝ 上不是一致连续的；接着选取 $x_n=n+1/n$，$y_n=n$，后修正为 $x_n=n+2/n$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示他需要找出这样的序列，并据此选定 $x_n$ 和 $y_n$。

1. 验证 |$f(x_n)-f(y_n)$|≥ε₀ 的代数计算在此片段中未完成。

1. 公式

   $$f(x)=x^2,\quad E=\mathbb{R}$$
   解释

   引入示例函数及其定义域。

   步骤依据

   该陈述明确写在黑板上并由讲师口头说出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y_n=n$$
   解释

   选择第二个序列为 $y_n = n$。

   步骤依据

   这是主讲人明确选定的反例。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_n=n+\frac1n$$
   解释

   最初选择 $x_n = n + 1/n$。

   步骤依据

   修订前写在黑板上的内容。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x_n=n+\frac2n$$
   解释

   将第一个序列修订为 $x_n = n + 2/n$。

   步骤依据

   主讲人称添加 $2/n$ ‘不会改变任何事情’，并在黑板上重写了这一选择。

   视频直接表达
5. 公式

   $$|x_n-y_n|=\frac2n$$
   解释

   经修订后，输入间距恰好为 $2/n$，其极限为 0。

   步骤依据

   直接相减：($n + 2/n$) − $n = 2/n$。

   依据视频推导

该片段通过选取 $y_n = n$ 和 $x_n = n + 2/n$ 来构建 $f(x) = x$² 在 ℝ 上的标准序列式反证，使得 |$x_n - y_n$| → 0；但本片段未展示后续步骤——验证 |$x_n$² − $y_n$²| ≥ ε₀。

1. 公式
   观察依据

   紫色部分展示了所选的数列及完整的代数计算过程，最终得到 |xₙ^$2 - y$ₙ^2| = $1 + 1/(4n^2) > 1$。

2. 声音
   观察依据

   从 00:00 到 01:09，主讲人通过口头讲解重复了相同的计算，并得出非一致连续的结论。

1. 公式

   $$x_n=n+\frac{1}{2n},\qquad y_n=n$$
   解释

   选取两个依赖于 n 的实数数列。

   步骤依据

   这些数列明确写在黑板上标有‘选取’的部分下方。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|x_n-y_n|=\left|\left(n+\frac{1}{2n}\right)-n\right|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{n}$$
   解释

   它们之间的距离小于 $1/n$。

   步骤依据

   直接相减并化简的过程在黑板上展示，并在 00:00–00:07 处口头陈述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|x_n^2-y_n^2|=\left|\left(n+\frac{1}{2n}\right)^2-n^2\right|$$
   解释

   现在计算平方值之差，对应函数 $f(x) = x^2$。

   步骤依据

   这是约在 00:12–00:18 处写在黑板上的下一行内容。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\left(n+\frac{1}{2n}\right)^2=n^2+2\cdot n\cdot \frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}=n^2+1+\frac{1}{4n^2}$$
   解释

   利用 ($a+b$)^$2=a^2+2$ab+$b^2$ 展开平方。

   步骤依据

   讲师在 00:23-00:35 处口头解释中间项，黑板上同时显示展开后的表达式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$|x_n^2-y_n^2|=\left|n^2+1+\frac{1}{4n^2}-n^2\right|=1+\frac{1}{4n^2}$$
   解释

   减去 $n^2$ 并化简；绝对值符号可省略，因为结果为正数。

   步骤依据

   黑板上于 00:44-00:54 左右展示该步骤，并口头说明 $n^2$ 项相互抵消。

   视频直接表达
6. 公式

   $$1+\frac{1}{4n^2}>1$$
   解释

   对每个 n，该量严格大于 1。

   步骤依据

   由 $1/(4n^2)$ 的正性立即得出；该结论写在计算过程末尾的黑板上。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\exists \varepsilon_0=1\ \text{such that}\ |x_n-y_n|<\frac1n\ \text{but}\ |x_n^2-y_n^2|\ge \varepsilon_0$$
   解释

   因此，一致连续性失效的序列判据在 ε₀=1 时得到满足。

   步骤依据

   这是讲师根据前述不等式，在 00:56-01:09 处得出的结论。

   依据视频推导

显式构造的序列表明，函数 $f(x)=x^2$ 在 ℝ 上不是一致连续的。