每个 $n\times n$ 矩阵都有 n 个不同的实特征值吗？

当且仅当矩阵拥有一组完整的线性无关特征向量（特征基底）时，矩阵才是可对角化的。主要好处是计算效率：计算矩阵的高次幂（例如 $A^{100}$）变得微不足道，因为你只需将对角线元素（特征值）提升到该次幂，而不是执行重复的矩阵乘法。

适用条件：矩阵在 n 维空间中拥有 n 个线性无关的特征向量；由特征向量构成的基变换矩阵 P 是可逆的

对于关于直线 $y=-x$ 的反射，向量 $(1,-1)$ 位于反射线上且保持不变。因此，$(1,-1)$ 是一个特征值为 $1$ 的特征向量。

适用条件：变换是关于直线 $y=-x$ 的反射。；向量是非零的。；向量位于反射轴上。

90 度旋转会将平面内的每个非零向量从其原始直线（张成空间）上移开。由于特征向量必须留在其张成空间上，因此没有实向量符合条件。

适用条件：矩阵表示二维中的纯 90 度旋转；搜索实值特征向量

是的，两个线性无关的特征向量 $(1,-1)$ 和 $(1,1)$ 构成了这个特定例子的特征基。它们张成了整个二维空间，允许任何向量表示为这些特征向量的线性组合。

适用条件：矩阵是关于 $y=-x$ 的反射。；特征向量是线性无关的。；空间的维度是 2。

对于关于 $y=-x$ 的反射，向量 $(1,1)$ 被映射为 $(-1,-1)$。由于 $(-1,-1) = -1 \cdot (1,1)$，向量 $(1,1)$ 是一个特征值为 $-1$ 的特征向量。

适用条件：变换是关于直线 $y=-x$ 的反射。；向量是非零的。；向量垂直于反射线。