特征值与特征向量｜chrisimm1

不，一般的 $n \times n$ 矩阵不一定有 $n$ 个不同的实特征值。有些矩阵可能有重特征值、复特征值，或少于 $n$ 个线性无关的特征向量。

适用条件：矩阵是 $n \times n$ 的。；标量域通常为 $\mathbb{R}$，除非另有说明。

对于关于直线 $y=-x$ 的反射，向量 $(1,-1)$ 位于反射线上且保持不变。因此，$(1,-1)$ 是一个特征值为 $1$ 的特征向量。

适用条件：变换是关于直线 $y=-x$ 的反射。；向量是非零的。；向量位于反射轴上。

是的，两个线性无关的特征向量 $(1,-1)$ 和 $(1,1)$ 构成了这个特定例子的特征基。它们张成了整个二维空间，允许任何向量表示为这些特征向量的线性组合。

适用条件：矩阵是关于 $y=-x$ 的反射。；特征向量是线性无关的。；空间的维度是 2。

对于关于 $y=-x$ 的反射，向量 $(1,1)$ 被映射为 $(-1,-1)$。由于 $(-1,-1) = -1 \cdot (1,1)$，向量 $(1,1)$ 是一个特征值为 $-1$ 的特征向量。

适用条件：变换是关于直线 $y=-x$ 的反射。；向量是非零的。；向量垂直于反射线。

当矩阵与向量的乘积 $Av$ 等于向量 $v$ 的标量倍数（写作 $Av = \lambda v$）时，非零向量 $v$ 称为矩阵 $A$ 的特征向量。标量 $\lambda$ 是对应的特征值。

适用条件：$v$ 必须是非零向量。；$A$ 是方阵。；$\lambda$ 是标量。