$x/\ln (x)$ 近似在 100 万亿以下的素数数量上有多准确？

适用条件

• $x = 100$,000,000,000,000。
• 使用的公式是 #primes(x) ~ $x/\ln (x)$。

理解与推导

1. 将 $x = 100$ 万亿代入 $x/\ln (x)$。
2. 计算表达式得到约 3.1 万亿。
3. 将该估计值与实际计算验证的 3.2 万亿计数进行比较。
4. 计算准确度百分比。

例子

视频指出 100 万亿除以 100 万亿的自然对数等于 3.1 万亿，并将其与实际计数 3.2 万亿进行比较，指出其准确度为 99.996875%。

容易误解的地方

• 假设该近似仅对理论上的无穷大 x 有用；视频显示即使在 100 万亿时也非常准确。
• 将密度近似（3.1%）与计数近似（3.1 万亿）混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 质数定理的形式化极限定义是什么？
• 随着 x 的增长，$x/\ln (x)$ 和实际素数计数的图表表现如何？
• 为什么对数螺旋与素数分布有关？