在均匀模型下，如何计算一张奖金为 500 美元、成本为 1 美元的三位数彩票的期望值？

视频首先将定积分回顾为曲边梯形的面积，通过分割、采样和取黎曼和的极限来构建。然后将相同的逻辑应用于期望积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，将项 $x f(x) dx$ 解释为值 $x$ 与近似概率 $f(x)dx$（小条带的面积）的乘积，从而将期望视为连续加权平均。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是概率密度函数；积分绝对收敛

要计算期望值，请列出所有互斥的结果，分配其声明的货币收益或损失，并确保概率之和为一。然后，通过将每个结果的值乘以其概率并对这些乘积求和来计算加权平均值。

适用条件：结果是互斥的。；分配给结果的概率之和恰好为一。；货币值的定义是一致的，包括任何适用的成本。

对于宽度为 $\Delta x$ 的非常小的区间，随机变量落入该区间的概率近似等于区间内某点的概率密度函数值乘以宽度 $\Delta x$。这种关系 $P\{x < X \le x + \Delta x\} \approx f(x)\Delta x$ 连接了密度（单位长度的概率）与实际范围内的概率概念。

适用条件：区间宽度 $\Delta x$ 非常小；忽略高阶无穷小量；$f(x)$ 在参考点处连续

赢的净结果是 499 美元，输的净结果是 -1 美元。这些值是通过从 500 美元的奖金（赢时）和 0 美元（输时）中减去 1 美元的彩票成本得出的。

适用条件：彩票成本为 1 美元。；中奖奖金为 500 美元。；净结果定义为奖金减去成本。

使用积分是因为连续随机变量可以在区间内取任何值，导致不可数个可能值。求和适用于离散的值集。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是概率密度函数；积分绝对收敛