如何使用链式法则对具有平方根上限的积分求导？

该模型通过连续的局部线性近似追踪微小的输入变化 $dx$。首先，内层函数 $h(x)=x^2$ 将其导数 $h'(x)=2x$ 作为缩放因子作用于输入变化。

适用条件：函数 $h$ 和 $g$ 在相关点可导。；输入变化 $dx$ 是无穷小的。；外层导数是在内层函数的输出 $h(x)$ 处求值，而不是在 $x$ 处。

只要内部函数 $h$ 在 $x$ 处可微，且外部函数 $g$ 在 $h(x)$ 处可微，链式法则就成立。如果 $h'(x)=0$，公式 $g'(h(x))h'(x)$ 正确地给出 0。

适用条件：$h$ 在 $x$ 处可微；$g$ 在 $h(x)$ 处可微；不要求 $h'(x) \neq 0$

上限 $u=\sqrt{t}$ 关于 $t$ 的导数是 $1/(2\sqrt{t})$。在对具有此可变上限的积分求导时，该因子用于链式法则。

适用条件：$t > 0$。；上限定义为 $u=\sqrt{t}$。

通过追踪微小的输入变化 $dx$ 穿过嵌套映射 $x \to h(x) \to g(h(x))$。对于 $x=1.5$，$h=x^2$，$g=\sin$，内部速率为 $h'(1.5)=3$，将 $dx$ 缩放为 $dh \approx 3dx$。

适用条件：内部函数 $h(x)$ 在 $x$ 处可微；外部函数 $g(u)$ 在 $u=h(x)$ 处可微；示例使用 $h(x)=x^2$ 和 $g(u)=\sin u$，接近 $x=1.5$

简化后的导数是 $\sin(t^{5/2})/(2t^{5/2})$。这是通过在被积函数中代入 $x=\sqrt{t}$ 并乘以上限的导数 $1/(2\sqrt{t})$ 得到的。

适用条件：被积函数是 $\sin(x^5)/x^4$。；下限是常数 2。；上限是 $\sqrt{t}$。；$t > 0$。