← 全部问题如何使用三层数轴模型及特定数值推导链式法则？
通过追踪微小的输入变化
dx 穿过嵌套映射
x→h(x)→g(h(x))。对于
x=1.5，
h=x2，
g=sin，内部速率为
h′(1.5)=3，将
dx 缩放为
dh≈3dx。外部速率为
g′(h(1.5))=cos(2.25)，将
dh 缩放为
dg≈cos(2.25)dh。结合两者得到
dg≈3cos(2.25)dx，从而导出导数
2xcos(x2)。
适用条件
- 内部函数 h(x) 在 x 处可微
- 外部函数 g(u) 在 u=h(x) 处可微
- 示例使用 h(x)=x2 和 g(u)=sinu，接近 x=1.5
理解与推导
- 从输入 x=1.5 开始并施加微小扰动 dx。
- 映射到中间层 h=x2。计算局部缩放因子 h′(x)=2x=3。
- 计算中间变化 dh≈3dx。
- 映射到顶层 g=sinh。在*当前*值 h(1.5)=2.25 处评估外部导数。
- 计算外部缩放因子 g′(2.25)=cos(2.25)。
- 计算最终变化 dg≈cos(2.25)dh。
- 代入 dh：dg≈cos(2.25)(3dx)。
- 推广至公式：dxd[g(h(x))]=g′(h(x))h′(x)。
例子
脚本在 600秒处描述：“在 x=1.5 附近，内部速率是 2x=3，而外部速率是 cos(2.25)... 总体导数是 2xcos(x2)：在外层导数中代入 x²，而不是 x。”
容易误解的地方
- 在外层导数 g′ 中代入 x 而不是内部输出 h(x)。
- 混淆求和法则的可加性与链式法则的可乘性。
相关问题
掌握方法↗ 该模型通过连续的局部线性近似追踪微小的输入变化 dx。首先，内层函数 h(x)=x2 将其导数 h′(x)=2x 作为缩放因子作用于输入变化。
适用条件：函数 h 和 g 在相关点可导。；输入变化 dx 是无穷小的。；外层导数是在内层函数的输出 h(x) 处求值，而不是在 x 处。
判断用途↗ 只要内部函数 h 在 x 处可微，且外部函数 g 在 h(x) 处可微，链式法则就成立。如果 h′(x)=0，公式 g′(h(x))h′(x) 正确地给出 0。
适用条件：h 在 x 处可微；g 在 h(x) 处可微；不要求 h′(x)=0
理解原因↗ 莱布尼茨记号 dxdy=dudydxdu 类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为 Δy=[g′(u)+ϵ]Δu，其中 ϵ→0。
适用条件：函数是可导的。；内层导数 du/dx 可以为零。；论证需要严格的极限定义，而不是非正式的代数。
判断用途↗ 外层导数 g′ 必须在内部函数的输出处求值，即在 h(x) 处，而不是在原始输入 x 处。这反映了复合的顺序性质：x 的变化影响 h，而 g 的敏感度取决于 h 的当前值。
适用条件：计算 g(h(x)) 的导数；应用链式法则 g′(h(x))h′(x)
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