即使内部导数为零，链式法则何时仍然成立？

该模型通过连续的局部线性近似追踪微小的输入变化 $dx$。首先，内层函数 $h(x)=x^2$ 将其导数 $h'(x)=2x$ 作为缩放因子作用于输入变化。

适用条件：函数 $h$ 和 $g$ 在相关点可导。；输入变化 $dx$ 是无穷小的。；外层导数是在内层函数的输出 $h(x)$ 处求值，而不是在 $x$ 处。

通过追踪微小的输入变化 $dx$ 穿过嵌套映射 $x \to h(x) \to g(h(x))$。对于 $x=1.5$，$h=x^2$，$g=\sin$，内部速率为 $h'(1.5)=3$，将 $dx$ 缩放为 $dh \approx 3dx$。

适用条件：内部函数 $h(x)$ 在 $x$ 处可微；外部函数 $g(u)$ 在 $u=h(x)$ 处可微；示例使用 $h(x)=x^2$ 和 $g(u)=\sin u$，接近 $x=1.5$

莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为 $\Delta y = [g'(u)+\epsilon]\Delta u$，其中 $\epsilon \to 0$。

适用条件：函数是可导的。；内层导数 $du/dx$ 可以为零。；论证需要严格的极限定义，而不是非正式的代数。

外层导数 $g'$ 必须在内部函数的输出处求值，即在 $h(x)$ 处，而不是在原始输入 $x$ 处。这反映了复合的顺序性质：$x$ 的变化影响 $h$，而 $g$ 的敏感度取决于 $h$ 的当前值。

适用条件：计算 $g(h(x))$ 的导数；应用链式法则 $g'(h(x))h'(x)$