如何在混合策略纳什均衡中找到玩家 2 的混合概率 q？

适用条件

• 玩家 2 以概率 $q$ 和 $1-q$ 在 R 和 L 之间混合。
• 目标玩家（玩家 1）必须在所混合的纯策略之间无差异。
• $q$ 的解应位于 $[0,1]$ 内，以表示有效的混合策略。

理解与推导

1. 识别收益矩阵中每个结果的玩家 1 的收益。
2. 通过将 R 行中玩家 1 的收益按玩家 2 的概率 $q$ 和 $1-q$ 加权，计算玩家 1 选择策略 R 时的期望收益，记为 $\Pi_1(R)$。
3. 通过将 L 行中玩家 1 的收益按玩家 2 的概率 $q$ 和 $1-q$ 加权，计算玩家 1 选择策略 L 时的期望收益，记为 $\Pi_1(L)$。
4. 将两个期望收益设为相等：$\Pi_1(R) = \Pi_1(L)$。
5. 求解所得的代数方程以得到 $q$。

例子

在显示的游戏里，玩家 1 选择 R 的期望收益是 $\Pi_1(R) = q(0) + (1-q)3 = 3 - 3q$。玩家 1 选择 L 的期望收益是 $\Pi_1(L) = q(4) + (1-q)0 = 4q$。将它们设为相等得到 $3 - 3q = 4q$。两边加上 $3q$ 得到 $3 = 7q$，除以 7 得到 $q = 3/7$。

容易误解的地方

• 一个常见的错误是在求解玩家 2 的 $q$ 时使用玩家 2 自己的收益。要找到玩家 2 的均衡混合概率，需要使玩家 1 的期望收益相等。
• 人们可能错误地将 $q$ 附加到玩家 2 的左动作或错误的列收益上。在这个例子中，$q$ 是玩家 2 选择 R 的概率。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么在求解对手的混合策略时我们要将两个期望收益设为相等？
• 在这个游戏中 $q=3/7$ 是什么意思？