在知道数列收敛后，如何找到实际的极限？

适用条件

• 已知数列收敛于某个实数 $L$。
• 递推关系为 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$。

理解与推导

1. 写出递推关系：$a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$。
2. 两边取 $n \to \infty$ 的极限：$\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3}(a_n+1)$。
3. 将 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 的极限替换为 $L$：$L = \frac{1}{3}(L+1)$。
4. 乘以 3：$3L = L + 1$。
5. 减去 $L$：$2L = 1$。
6. 除以 2：$L = \frac{1}{2}$。

例子

黑板上显示了计算过程：$L=\frac{1}{3}(L+1)\Rightarrow \frac{2}{3}L=\frac{1}{3}\Rightarrow L=\frac{1}{2}$。

容易误解的地方

• 假设 $a_{n+1}$ 收敛于与 $a_n$ 不同的极限。
• 忘记对括号内的常数项应用极限。

观看对应讲解

继续追问

• 数列 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$（其中 $a_1=1$）的极限是多少？
• 为什么在取极限之前数列必须有界且单调？