如何将微分方程 ($1+e^x$)dy = ye^x dx 改写为一阶线性方程的标准形式？

适用条件

• 该方程是一阶微分方程。
• ($1+e^x$) 永远不为零，因此除法有效。

理解与推导

1. 从方程开始：($1+e^x$)dy = ye^x dx。
2. 除以 $dx(1+e^x)$：$dy/dx$ = (ye^x)/($1+e^x$)。
3. 将各项重新排列到左边：$dy/dx - (e^x/(1+e^x))y = 0$。
4. 识别 $p(x) = -e^x/(1+e^x)$ 和 $q(x) = 0$。

例子

视频展示了这一确切的转换，强调了在重新排列后如何识别系数函数 $p(x)$ 和非齐次项 $q(x)$。

容易误解的地方

• 在识别 $p(x)$ 时忘记包含负号。
• 假设 $q(x)$ 必须非零；在这种情况下，它是零。

观看对应讲解

继续追问

• 如何改用分离变量法求解这个方程？
• 一阶线性方程的通解公式是什么？