如何求解目标函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 和约束 $g(x,y) = x^2 + y^2/2 - 1 = 0$ 的拉格朗日乘数系统？

对于二元函数，定义 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$。如果 $D>0$，则 $f_{xx}$ 的符号区分类型：$f_{xx}>0$ 表示局部极小值，$f_{xx}<0$ 表示局部极大值。

适用条件：函数有两个变量。；该点是驻点（梯度为零）。；函数二阶连续可微。

半定海森矩阵无法得出结论，因为二阶项并不能严格确定所有方向上变化的符号。必须检查高阶项或直接检查函数的行为，以确定该点是极小值、极大值还是鞍点。

适用条件：函数二阶连续可微。；该点的梯度为零。；海森矩阵是半定的（正半定或负半定）。

蓝色箭头代表目标函数的梯度 $\nabla f$，从等高线的中心向外指出。黄色箭头代表约束函数的梯度 $\nabla g$，它垂直于约束曲线。

适用条件：动画可视化了 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 和 $g(x,y) = x^2 + y^2/2 - 1 = 0$ 的梯度。；蓝色箭头对应 $\nabla f$。；黄色箭头对应 $\nabla g$。

海森矩阵通过分析小位移方向上的二阶变化的符号来分类驻点。如果海森矩阵是正定的，则该点是严格局部极小值。

适用条件：函数在该点附近二阶连续可微。；该点的梯度为零（驻点）。；函数有两个变量。

视频使用了目标函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$，它被表示为一个具有同心圆形等高线的三维抛物面。约束函数是 $g(x,y) = x^2 + y^2/2 - 1 = 0$，它被表示为 xy 平面上的一个椭圆。

适用条件：演示侧重于双变量的约束优化。；目标函数是二次且径向对称的。；约束是由二次方程定义的椭圆。