条件极值问题

通过建立方程 $\nabla f = \lambda \nabla g$ 以及约束 $g(x,y)=0$ 来求解系统。对于这些特定的函数，这产生了 $2x = \lambda(2x)$，$2y = \lambda(y)$，以及 $x^2 + y^2/2 - 1 = 0$。

适用条件：目标函数是 $f(x,y) = x^2 + y^2$。；约束函数是 $g(x,y) = x^2 + y^2/2 - 1 = 0$。；应用了拉格朗日乘数条件 $\nabla f = \lambda \nabla g$。

蓝色箭头代表目标函数的梯度 $\nabla f$，从等高线的中心向外指出。黄色箭头代表约束函数的梯度 $\nabla g$，它垂直于约束曲线。

适用条件：动画可视化了 $f(x,y) = x^2 + y^2$ 和 $g(x,y) = x^2 + y^2/2 - 1 = 0$ 的梯度。；蓝色箭头对应 $\nabla f$。；黄色箭头对应 $\nabla g$。

视频使用了目标函数 $f(x,y) = x^2 + y^2$，它被表示为一个具有同心圆形等高线的三维抛物面。约束函数是 $g(x,y) = x^2 + y^2/2 - 1 = 0$，它被表示为 xy 平面上的一个椭圆。

适用条件：演示侧重于双变量的约束优化。；目标函数是二次且径向对称的。；约束是由二次方程定义的椭圆。

在极值点处，目标函数的等高线与约束曲线相切。由于梯度向量始终垂直于其各自的等高线，因此在这些切点处，目标函数和约束函数的梯度必须相互平行。

适用条件：函数 $f$ 和 $g$ 是可微的。；极值发生在约束曲线平滑的点（$g$ 的梯度非零）。；$f$ 的等高线与约束曲线 $g=0$ 相切。