Hessian矩阵的构造

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依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

0:00先把二元函数的二阶偏导数排成海森矩阵 $H$。假设函数在研究点附近二阶连续可微，而且该点满足 $\nabla f=0$，局部变化的主要二阶部分就是二次型 $\frac12 h^T Hh$。因此判断曲面在这个点朝各个方向如何弯曲，可以转化为判断这个二次型的符号。

0:14曲面的碗形、倒碗形和马鞍形分别帮助理解三种情况：如果 $H$ 正定，任意非零小位移的二阶变化都为正，该驻点是严格局部极小值；负定则得到严格局部极大值；不定意味着有的方向上升、有的方向下降，因此是鞍点。二元情形令 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$，则 $D>0$ 时再看 $f_{xx}$ 的正负，$D<0$ 时是鞍点，$D=0$ 时这个判别法无法决定。

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