在集合 x₃=x₁+x₂ 中添加两个向量如何保持定义关系？

三个标准准则是：1) 子集非空（通常通过证明它包含零向量来验证）；2) 子集在向量加法下封闭；3) 子集在标量乘法下封闭。

适用条件：该子集是更大向量空间的一部分。；运算是继承的向量加法和标量乘法。

标量乘法能保持该关系，因为将方程 $x_3 = x_1 + x_2$ 乘以标量 $c$ 得到 $cx_3 = cx_1 + cx_2$。这表明缩放向量 $cx$ 的第三个分量等于其第一个和第二个分量之和。

适用条件：$x$ 是满足 $x_3 = x_1 + x_2$ 的集合中的向量。；$c$ 是实标量。；标量乘法是按分量定义的。

零向量必须在集合中以确保集合非空。子空间本身就是一个向量空间，而每个向量空间都必须包含加法单位元，即零向量。

适用条件：该集合是向量空间的子空间候选者。；子空间的定义要求它在继承的运算下成为一个向量空间。

要证明集合 $W = \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid x_3 = x_1 + x_2\}$ 是一个子空间，你必须验证三个条件：非空性（包含零向量）、在向量加法下的封闭性以及在标量乘法下的封闭性。

适用条件：该集合由 $\mathbb{R}^3$ 中的线性方程 $x_3 = x_1 + x_2$ 定义。；标量域为 $\mathbb{R}$。