放缩技巧 $n^2-3 \ge n^2/2$ 如何简化 $n \ge 3$ 时的误差界限？

Q: 放缩技巧 $n^2-3 \ge n^2/2$ 如何简化 $n \ge 3$ 时的误差界限？

对于 $n \ge 3$，不等式 $n^2 - 3 \ge n^2/2$ 成立。这允许将误差项 $\frac{9}{n^2-3}$ 中复杂的分母 $n^2 - 3$ 替换为更简单的 $n^2/2$。由于分母变小（或相等），分数变大（或相等），从而提供了一个上界：$\frac{9}{n^2-3} \le \frac{9}{n^2/2} = \frac{18}{n^2}$。求解 $\frac{18}{n^2} \sqrt{18/\varepsilon}$，这比直接的代数解更容易计算。

对于

n \ge 3

，不等式

n^2 - 3 \ge n^2/2

成立。这允许将误差项

\frac{9}{n^2-3}

中复杂的分母

n^2 - 3

替换为更简单的

n^2/2

。由于分母变小（或相等），分数变大（或相等），从而提供了一个上界：

\frac{9}{n^2-3} \le \frac{9}{n^2/2} = \frac{18}{n^2}

。求解

\frac{18}{n^2} < \varepsilon

得到

n > \sqrt{18/\varepsilon}

，这比直接的代数解更容易计算。

适用条件

$n \ge 3$ 。
误差项是 $\frac{9}{n^2-3}$ 。
目标是找到 $N$ 使得误差 $< \varepsilon$ 。

理解与推导

验证 $n \ge 3$ 时不等式 $n^2 - 3 \ge n^2/2$ 成立。
将其应用于误差项的分母：因为 $n^2 - 3 \ge n^2/2$ ，所以 $\frac{1}{n^2 - 3} \le \frac{1}{n^2/2}$ 。
乘以分子 9 得到界限： $\frac{9}{n^2-3} \le \frac{18}{n^2}$ 。
设简化的界限小于 $\varepsilon$ ： $\frac{18}{n^2} < \varepsilon$ 。
解出 $n$ ： $n^2 > \frac{18}{\varepsilon} \implies n > \sqrt{\frac{18}{\varepsilon}}$ 。
选择一个大于该值的整数 $N$ 。

例子

脚本指出：“对于 $n\ge 3$ ，n²− $3\ge n$ ²/2，所以误差以 $18/n$ ² 为界。要求 n>√( $18/ε$ )……给出了另一个有效的截断值。”

容易误解的地方

假设在取倒数时不等号方向反转而不检查符号（这里各项均为正）。
忘记这个界限仅在 $n \ge 3$ 时有效，因此最终的 $N$ 也必须满足此范围限制。
认为这种方法得出的是精确的最小 $N$ ；它得出的是一个有效的、可能更大的 $N$ 。

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哔哩哔哩极限定义中N的不唯一性

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