一致极限定理如何证明黎曼 zeta 函数在 Re(s) > 1 上是解析的？

适用条件

• $f_n(s)$ 是 zeta 级数的部分和。
• 一致极限定理适用于在区域上一致收敛的解析函数序列。
• $a$ 是任意小的正常数（$a>0$）。

理解与推导

1. 识别出每一项 $k^{-s}$ 以及每个有限部分和 $f_n(s)$ 都是解析函数。
2. 回忆已确立的结果：$f_n(s)$ 在区域 $\operatorname{Re}(s)\ge 1+a$ 上一致收敛于 $\zeta(s)$。
3. 应用一致极限定理得出 $\zeta(s)$ 在 $\operatorname{Re}(s)\ge 1+a$ 上是解析的。
4. 论证因为 $a>0$ 可以任意小，解析性的性质扩展到整个开半平面 $\operatorname{Re}(s)>1$。

例子

幻灯片陈述：“因此 $\zeta(s)$ 在 Re(s) $\ge 1 + a$ 上是解析的。因为 $a > 0$ 可以任意小，$\zeta(s)$ 在 Re(s) > 1 上是解析的。”

容易误解的地方

• 认为解析函数的逐点收敛足以保证极限是解析的。
• 假设一致极限定理可以直接应用于开区域 $\operatorname{Re}(s)>1$，而无需先限制到闭子区域 $\operatorname{Re}(s)\ge 1+a$。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么一致极限定理需要一致收敛？
• 在复分析中，函数是解析的有什么后果？