视频如何从素数密度推导出质数定理公式 $x/\ln (x)$？

适用条件

• 使用渐近密度近似 $1/\ln (x)$。
• 推导假设密度在范围内是恒定的以进行简化。

理解与推导

1. 陈述素数数量是密度曲线下的面积。
2. 通过假设恒定密度来简化面积计算。
3. 将大小 x 乘以密度 $1/\ln (x)$。
4. 获得公式 #primes(x) = $x/\ln (x)$。

例子

视频显示了 $y = 1/\ln (x)$ 下的阴影区域，然后写出 # primes (x) = size * density，并代入得到 # primes (x) = $x/\ln (x)$。

容易误解的地方

• 将恒定密度的简化视为严格的证明，而不是启发式的推导。
• 假设 $x/\ln (x)$ 给出了每个有限 x 的精确素数计数。

观看对应讲解

继续追问

• 什么数值例子验证了 $x/\ln (x)$ 公式？
• $x/\ln (x)$ 和实际素数计数的图表如何比较？
• 质数定理的形式化极限定义是什么？