在这个片段中，如何从余弦幂级数计算 $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$？

适用条件

• 积分区间是 $[0,\pi/2]$。
• 余弦幂级数是 $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$。
• 控制收敛定理适用，因为级数项在 $[0,\pi/2]$ 上被 $g(x)=1$ 控制。

理解与推导

1. 将余弦幂级数代入积分：$\int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\,dx$。
2. 使用控制收敛定理交换求和与积分：$\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{\pi/2} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\,dx$。
3. 将依赖于 $n$ 的系数移到积分外面：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \int_0^{\pi/2} x^{2n}\,dx$。
4. 使用幂法则对 $x^{2n}$ 积分，得到 $\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ 在 $0$ 到 $\pi/2$ 的值。
5. 将 $(2n)!$ 和 $2n+1$ 结合成 $(2n+1)!$，将级数重写为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$。
6. 将该级数识别为 $\sin x$ 的麦克劳林级数。
7. 计算 $\sin(\pi/2) - \sin(0)$ 得到最终答案 $1$。
8. 验证控制条件：对于 $x\in[0,\pi/2]$ 和 $n\ge 0$，$\left|\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\right| \le 1$，所以 $g(x)=1$ 是一个有效的控制函数。

例子

黑板显示了从 $\int_0^{\pi/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\,dx$ 到 $\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^{\pi/2}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\,dx$ 的转换，以及后来的带框最终答案 $1$。

容易误解的地方

• 在交换求和与积分之前忘记检查控制条件。
• 假设逐项积分余弦级数会得到余弦级数，而不是正弦级数。

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继续追问

• 在这个余弦级数例子中，为什么可以交换求和与积分？
• 在这个演示例子中，$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ 的最终值是多少？

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