在这个余弦级数例子中，为什么可以交换求和与积分？

控制收敛定理证明了在区间 $[a,b]$ 上的定积分与无穷求和可以交换，从而允许逐项积分。具体来说，它确立了 $\int_a^b \sum f_n(x)\,dx = \sum \int_a^b f_n(x)\,dx$。

适用条件：假设之前陈述的收敛、控制和有限积分条件成立。；求和是针对函数序列 $f_n$ 进行的。；积分是在闭区间 $[a,b]$ 上进行的。

这三个假设条件是：(1) 函数序列 $f_n$ 在区间 $[a,b]$ 上收敛于函数 $f$；(2) 存在一个控制函数 $g$，使得对于所有的 $n$ 和所有的 $x \in [a,b]$，都有 $|g(x)| \ge |f_n(x)|$；(3) 控制函数在区间上的积分是有限的，即 $\int_a^b g(x)\,dx < \infty$。

适用条件：该定理是以微积分导向的形式呈现的，而不是完整的测度论证明。；区间 $[a,b]$ 是一个闭且有界的实数区间。

计算方法是：将 $\cos x$ 的麦克劳林级数代入积分，使用控制收敛定理交换求和与积分，使用幂法则对每个单项式项进行积分，简化阶乘分母，将得到的级数识别为正弦级数，并在端点 $0$ 和 $\pi/2$ 处求值。

适用条件：积分区间是 $[0,\pi/2]$。；余弦幂级数是 $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$。；控制收敛定理适用，因为级数项在 $[0,\pi/2]$ 上被 $g(x)=1$ 控制。

包含这个例子是为了说明，如果控制函数的积分发散，那么仅有控制假设是不够的。它作为一个警告，表明如果不满足有限积分条件，期望的积分与求和的交换可能会失败。

适用条件：该例子作为 $[0,\infty)$ 区间上的警告性说明呈现。；函数 $e^{2x}$ 控制 $e^x$，但 $\int_0^{\infty} e^{2x}\,dx$ 发散。