← 全部问题互信息与联合熵和边际熵有什么关系？
互信息
I(X;Y) 与边际熵
H(X)、
H(Y) 以及联合熵
H(X,Y) 之间的关系由恒等式
I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y) 给出。这是从韦恩图中推导出来的，其中两个熵圆的并集是联合熵，它们的交集是互信息。将两个完整的圆相加会将重叠部分计算两次，因此减去并集就恰好留下了交集。
适用条件
- X 和 Y 是具有有限熵的随机变量。
- 该图将 H(X,Y) 视为两个熵圆的并集，将 I(X;Y) 视为它们的交集。
理解与推导
- 将左圆读作 H(X)，右圆读作 H(Y)。
- 将两个圆的并集读作联合熵 H(X,Y)。
- 将交集读作互信息 I(X;Y)。
- 应用容斥原理：将两个完整的圆相加会将重叠部分计算两次。
- 从两个圆的总和中减去并集以分离出交集。
- 得出 I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y) 的结论。
例子
视频在韦恩图正下方显示了恒等式 I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)，旁白说道：“所以我们得到了这个优雅的恒等式。”
容易误解的地方
- 假设 H(X,Y) 是 H(X) 和 H(Y) 的总和；它实际上是它们的总和减去互信息。
- 混淆交集（互信息）与并集（联合熵）。
相关问题
认识概念↗ 条件熵 H(X|Y) 衡量在观察到另一个随机变量 Y 之后，关于随机变量 X 的平均剩余不确定性或惊讶程度。它被定义为条件自信息 h(x|y) 在 X 和 Y 的联合分布上的期望值。
适用条件：X 和 Y 是离散随机变量。；求和是在联合字母表 Ax×Ay 上进行的。
理解原因↗ 联合熵 H(X,Y) 不等于 H(X)+H(Y)，因为将边缘熵相加会重复计算变量之间共享的互信息 I(X;Y)。正确的关系是 H(X,Y)=H(X)+H(Y)−I(X;Y)。
适用条件：X 和 Y 是可能共享信息的随机变量（即它们不一定独立）。
认识概念↗ 在熵的韦恩图中，左圆代表熵 H(X)，右圆代表 H(Y)。它们的交集代表互信息 I(X;Y)。
适用条件：适用于说明两个离散随机变量 X 和 Y 之间的信息分解。
当 X 和 Y 独立时，知道其中一个并不能告诉你关于另一个的任何信息。在数学上，联合分布分解为边际分布的乘积，即 p(x,y)=p(x)⋅p(y)。
适用条件：适用于 X 和 Y 独立的情况。；显示的记号使用概率质量函数 p(x)、p(y) 和 p(x,y)。
是的，互信息是完全对称的。公式 I(X;Y)=I(Y;X) 成立。
适用条件：适用于定义互信息的任意一对随机变量 X 和 Y。
答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。