如何从正合序列证明 $\operatorname{coker}(i)\simeq Y$？

适用条件

• $X \xrightarrow{i} Z \xrightarrow{p} Y \to 0$ 是 $R$-模的正合序列。
• $R$ 是交换环。

理解与推导

1. 从正合序列 $X \xrightarrow{i} Z \xrightarrow{p} Y \to 0$ 开始。
2. 利用 $Z$ 处的正合性建立 $\operatorname{im}(i) = \ker(p)$。
3. 利用 $Y$ 处的正合性（由 $Y\to 0$）建立 $\operatorname{im}(p) = Y$。
4. 将第一同构定理应用于映射 $p:Z\to Y$，得到 $Z/\ker(p) \simeq \operatorname{im}(p)$。
5. 将 $\operatorname{im}(p) = Y$ 代入同构式，得到 $Z/\ker(p) \simeq Y$。
6. 将 $\ker(p) = \operatorname{im}(i)$ 代入分母，得到 $Z/\operatorname{im}(i) \simeq Y$。
7. 根据定义识别 $Z/\operatorname{im}(i)$ 为 $\operatorname{coker}(i)$。
8. 得出结论 $\operatorname{coker}(i) \simeq Y$。
9. 视频在黑板上明确展示了这些代入步骤。

例子

视频指出：“黑板上依次写着 $\operatorname{im} i=\ker p$，$X/\ker i\simeq \operatorname{im} i$，$Z/\ker p\simeq \operatorname{im} p$，$\operatorname{im} p=Y$，以及 $Z/\operatorname{im} i\simeq Y$。……最后，利用先前的正合性关系 $\operatorname{im} i=\ker p$，将 $\ker p$ 替换为 $\operatorname{im} i$。商变为 $Z/\operatorname{im} i \simeq Y$。根据开头写下的定义，$Z/\operatorname{im} i$ 正是 $\operatorname{coker}(i)$，因此得出期望的结论 $\operatorname{coker}(i)\simeq Y$。”

容易误解的地方

• 忘记利用 $Y$ 处的正合性来得出 $\operatorname{im}(p)=Y$。
• 混淆第一同构定理与余核的定义。
• 假设证明需要映射 $i$ 是单射（这在引理的这部分并未给出）。

观看对应讲解

继续追问

• 如何从正合序列证明 $\operatorname{coker}(i)\simeq Y$？
• 第一同构定理在这个证明中起什么作用？
• 为什么 $Y$ 处的正合性是必要的？