为什么链式法则的莱布尼茨记号不能通过简单的分数约分来证明？

Q: 为什么链式法则的莱布尼茨记号不能通过简单的分数约分来证明？

莱布尼茨记号 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ 类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为 $\Delta y = [g'(u)+\epsilon]\Delta u$，其中 $\epsilon \to 0$。这确保了误差项在极限中比 $\Delta x$ 更快地消失，从而在不除以可能为零的微分 $du$ 的情况下保持等式成立。

莱布尼茨记号

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

类似于代数约分，但导数是极限，而不是普通的分数。严格的证明依赖于将增量精确表达为

\Delta y = [g'(u)+\epsilon]\Delta u

，其中

\epsilon \to 0

。这确保了误差项在极限中比

\Delta x

更快地消失，从而在不除以可能为零的微分

du

的情况下保持等式成立。

适用条件

函数是可导的。
内层导数 $du/dx$ 可以为零。
论证需要严格的极限定义，而不是非正式的代数。

理解与推导

承认 $\frac{dy}{dx}$ 看起来像一个分数。
回忆导数被定义为差商的极限。
注意到如果 $du/dx = 0$ ，在标准代数中除以 $du$ 是无效的。
使用精确的增量公式： $\Delta y = g'(u)\Delta u + \epsilon \Delta u$ 。
表明当 $\Delta x \to 0$ 时， $\Delta u \to 0$ 且 $\epsilon \to 0$ 。
得出极限产生导数的乘积而无需非法除法的结论。

例子

如果 $u=x^2$ 且 $x=0$ ，那么 $du/dx=0$ 。简单的约分会涉及除以零，但极限定义正确地处理了这一点，得出 $dy/dx = 0$ 。

容易误解的地方

将 $dx$ 和 $dy$ 视为可以自由约分的独立无穷小数。
相信当内层导数为零时链式法则失效。
认为莱布尼茨记号仅仅是一个没有严格基础的助记符。

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