自然对数如何与对数螺旋和素数密度相关？

适用条件

• 螺旋的旋转率由 $φ = \ln (r)$ 建模。
• 素数密度由倒数 $1/\ln (x)$ 近似。

理解与推导

1. 将对数螺旋的旋转次数定义为 φ，距中心的距离定义为 r。
2. 将 φ 对 r 作图以找到自然对数关系 $φ = \ln (r)$。
3. 改写为 $y = \ln (x)$。
4. 将函数反转为 $y = 1/\ln (x)$。
5. 将此反转曲线与经验素数密度图相匹配。

例子

视频显示对数螺旋属性的图表遵循 $y = \ln (x)$，然后将 y 轴翻转为 $1/\ln (x)$，以完美叠加素数密度曲线。

容易误解的地方

• 假设对数螺旋直接计算素数；它通过自然对数模拟密度趋势。
• 在素数密度的上下文中混淆自然对数 $\ln (x)$ 与其倒数 $1/\ln (x)$。

观看对应讲解

继续追问

• 什么公式可以近似大 x 的素数密度？
• 为什么随着 x 的增长，素数密度会下降？
• 视频如何从密度推导出质数定理？