视频中如何从数学上定义三维点到投影平面的垂直距离？

适用条件

• 已选定目标平面 $\mathcal{P}$。
• 投影垂直于该平面。
• 距离使用向量范数进行测量。

理解与推导

1. 识别环境三维空间中的原始数据点 $\mathbf{x}$。
2. 识别数据投影到的目标平面 $\mathcal{P}$。
3. 将距离公式化为对平面上所有候选点 $\mathbf{p}$ 的最小值。
4. 对原始点和候选点之间的差值应用向量范数。
5. 得出结论：使距离最小的点是 $\mathbf{x}$ 在 $\mathcal{P}$ 上的正交投影。

例子

视频在动画展示蓝点垂直降落到绿面上的黄标记时，显示了公式 $d_\perp = \min_{\mathbf{p} \in \mathcal{P}} \|\mathbf{x} - \mathbf{p}\|$。

容易误解的地方

• 假设距离是沿任意轴测量的，而不是沿最短的垂直路径。
• 认为该公式计算的是到原点的距离，而不是到平面的距离。

观看对应讲解

继续追问

• 在降维的背景下，垂直距离代表什么？
• 视频如何可视化三维点云向二维表面的坍缩？