视频中如何定义单个数据点的重建误差？

适用条件

• 原始数据点 $\mathbf{x}_i$ 在三维空间中。
• 重建点 $\hat{\mathbf{x}}_i$ 在二维子空间上。
• 距离使用欧几里得范数进行测量。

理解与推导

1. 识别原始三维数据点 $\mathbf{x}_i$。
2. 识别从二维坐标获得的重建三维点 $\hat{\mathbf{x}}_i$。
3. 计算原始点和重建点之间的差值向量。
4. 对该差值向量应用欧几里得范数。
5. 得到的标量即为重建误差 $e_i$。

例子

视频显示公式 $e_i = \|\mathbf{x}_i - \hat{\mathbf{x}}_i\|$，并将误差可视化为连接浮动青色点到蓝色投影平面的红色垂直须。

容易误解的地方

• 假设误差是沿原始坐标系的轴测量的，而不是沿最短路径。
• 认为如果子空间捕获了大部分方差，则所有点的误差都为零。

观看对应讲解

继续追问

• PCA 中重建误差指向什么方向？
• 如何计算所有点的总重建误差？