如何使用抛硬币的例子来证明互斥事件不能是独立的。

适用条件

• 抛一次公平的硬币。
• 事件 A 是“正面朝上”，事件 B 是“反面朝上”。

理解与推导

1. 在单次抛硬币中，将事件 A 定义为正面朝上，事件 B 定义为反面朝上。
2. 确立 A 和 B 是互斥的，因为单次抛掷不能同时产生两个结果（$AB = \emptyset$）。
3. 计算 A 的无条件概率，即 0.5。
4. 评估在 B 发生的条件下 A 的条件概率，即 0。
5. 比较概率：因为 $P(A|B) = 0 \neq P(A) = 0.5$，所以 B 的发生影响了 A 的概率。
6. 得出概率非零的互斥事件不是独立的结论。

例子

在抛硬币中，设 A = {正面}，B = {反面}。它们是互斥的（$AB = \emptyset$）。如果我们知道反面发生了（B），那么正面（A）的概率就降为 0，这与它原来的概率 0.5 不同。这证明了强烈的依赖性。

容易误解的地方

• 认为因为正面和反面是分开的物理结果，所以它们在统计上是独立的。
• 假设互斥性意味着事件不会影响彼此的概率。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么概率非零的互斥事件通常不是独立的？
• 不可能事件与任何事件都是独立的吗？