← 全部问题在黎曼度量的定义中，gp(v,v) 的正定意味着什么？
正定意味着对于任何切向量
v∈TpM，
gp(v,v)≥0，且当且仅当
v=0 时
gp(v,v)=0。这确保了度量定义了一个有效的范数。
适用条件
- g 是黎曼度量。
- v∈TpM 是切向量。
理解与推导
- 对切向量 v 求值 gp(v,v)。
- 检查结果是非负的：gp(v,v)≥0。
- 检查结果仅对零向量为零：gp(v,v)=0⟺v=0。
例子
黑板上陈述：“gp(v,v)≥0, gp(v,v)=0⇔v=0。”
容易误解的地方
- 混淆正定与半正定（后者允许非零向量的值为零）。
- 认为正定意味着对所有向量严格为正（它对零向量为零）。
相关问题
掌握方法↗ 协变 2-张量场在光滑函数环上是线性的。如果 X,Y 是向量场，f,h 是光滑函数，那么 g(fX,hY)=fhg(X,Y)。
适用条件：g 是协变 2-张量场。；X,Y 是向量场。；f,h 是光滑函数。
理解原因↗ 黎曼度量 g 是对称的，因为其在每个点 p 的值 gp 是切空间 TpM 上的内积。内积是对称的，所以 gp(v,w)=gp(w,v)，这意味着对于向量场有 g(X,Y)=g(Y,X)。
适用条件：g 是黎曼度量。；对于所有 p∈M，gp 是 TpM 上的内积。
光滑流形 M 上的黎曼度量 g 是一个光滑协变 2-张量场，使得对于每个点 p∈M，其值 gp 是切空间 TpM 上的内积。它是对称且正定的。
适用条件：M 是光滑流形。；g 是光滑协变 2-张量场。；对于每个 p∈M，gp 是 TpM 上的内积。；对所有 v∈TpM，gp(v,v)≥0。；当且仅当 v=0 时，gp(v,v)=0。
协变张量场以向量为输入，并输出一个标量数。在黎曼度量的背景下，它作用于给定切空间中的向量对。
适用条件：张量场是协变的。；输入是切空间中的向量。；输出是标量。
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