光滑流形上黎曼度量的正式定义是什么？

协变 2-张量场在光滑函数环上是线性的。如果 $X, Y$ 是向量场，$f, h$ 是光滑函数，那么 $g(fX, hY) = f h g(X,Y)$。

适用条件：$g$ 是协变 2-张量场。；$X, Y$ 是向量场。；$f, h$ 是光滑函数。

正定意味着对于任何切向量 $v \in T_pM$，$g_p(v,v) \ge 0$，且当且仅当 $v = 0$ 时 $g_p(v,v) = 0$。这确保了度量定义了一个有效的范数。

适用条件：$g$ 是黎曼度量。；$v \in T_pM$ 是切向量。

黎曼度量 $g$ 是对称的，因为其在每个点 $p$ 的值 $g_p$ 是切空间 $T_pM$ 上的内积。内积是对称的，所以 $g_p(v,w) = g_p(w,v)$，这意味着对于向量场有 $g(X,Y) = g(Y,X)$。

适用条件：$g$ 是黎曼度量。；对于所有 $p \in M$，$g_p$ 是 $T_pM$ 上的内积。

协变张量场以向量为输入，并输出一个标量数。在黎曼度量的背景下，它作用于给定切空间中的向量对。

适用条件：张量场是协变的。；输入是切空间中的向量。；输出是标量。