第一个偏微分方程强制 $f(W,t)$ 具有什么一般形式？

适用条件

• $f_W = \sigma f$ 成立。
• $\sigma$ 是常数。

理解与推导

1. 从将 $t$ 视为参数的常微分方程 $f_W = \sigma f$ 开始。
2. 关于 $W$ 积分得到 $f(W,t) = C e^{\sigma W}$。
3. 允许积分常数 $C$ 依赖于 $t$，记为 $\varphi(t)$。
4. 得出分离形式 $f(W,t) = \varphi(t)e^{\sigma W}$。

例子

在求解第一个偏微分方程后，黑板上写着“$f(W,t) = \varphi(t) e^{\sigma W}$”。

容易误解的地方

• 假设积分常数是不依赖于 $t$ 的真正常数。
• 忘记对 $W$ 的指数依赖关系。

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继续追问

• 为了使用第二个偏微分方程，接下来计算哪些导数？
• 为什么求解 $f_W=\sigma f$ 会引入函数 $\phi(t)$ 而不是常数？