$\langle x \rangle$ 是什么，它是如何从 $x$ 构建的？

要证明加法下的整数 $\mathbb{Z}$ 是循环的，需证明 $\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle$。由 $1$ 生成的子群包含 $1$、其逆元 $-1$、单位元 $0$，以及 $1$ 的所有整数倍，这穷尽了所有整数。

适用条件：群是带有运算 $+$ 的 $\mathbb{Z}$。；候选生成元是 $1$。

由一个元素生成的群被称为循环群，因为生成的子群的元素可以被视为在生成元的次幂（或倍数）之间循环。在像 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 这样的有限情况下，生成元的倍数序列周期性地重复，形成一个循环。

适用条件：群由单个元素生成。；在有限情况下，模数 $n$ 决定了循环的长度。

如果一个群可以由单个元素生成，则称其为循环群。在视频中，这被写为 $G = \langle x \rangle$，意味着群中的每个元素都属于由 $x$ 生成的子群。

适用条件：$G$ 是一个群。；存在一个元素 $x \in G$ 使得 $G = \langle x \rangle$。

任何包含 $x$ 的子群也必须包含其逆元 $x^{-1}$ 和单位元 $1$，因为这是子群定义所要求的。此外，在群运算下的封闭性强制要求包含 $x$ 和 $x^{-1}$ 的所有整数次幂。

适用条件：$G$ 是一个群。；$H \le G$ 是一个子群。；$x \in H$。

在加法记号中，对于带有运算 $+$ 的群 $H$ 和元素 $y \in H$，由 $y$ 生成的子群是包含 $y$ 的 $H$ 的最小子群。它由 $y$ 的所有整数倍组成，写为 $\langle y \rangle = \{\dots, -3y, -2y, -y, 0, y, 2y, 3y, \dots\}$。

适用条件：$H$ 是带有运算 $+$ 的群。；$y \in H$。