群 G 的正规子群（或不变子群）的定义是什么？

在群论的背景下，$gH$ 表示关于元素 g 的子群 H 的左陪集，而 $Hg$ 表示关于 g 的 H 的右陪集。对于正规子群，这两个集合是相同的。

适用条件：H 是 G 的子群；g 是群 G 的元素

正规子群满足 $gH = Hg$，因为它的定义属性是在共轭下不变，这意味着 $gHg^{-1} = H$。通过将等式两边同时右乘元素 g，$g^{-1}$ 和 g 相互抵消，从而得出左陪集 $gH$ 和右陪集 $Hg$ 相等。

适用条件：H 是 G 的正规子群；g 是群 G 的元素

不会，将代表元素 g 替换为来自同一陪集的另一个元素 g' 不会产生不同的陪集。如果 g' 属于与 g 相同的陪集（即 $g' \in gH$），那么由 g' 生成的陪集与由 g 生成的陪集相同（$g'H = gH$）。

适用条件：g 和 g' 都是群 G 的元素；g' 和 g 属于同一个陪集

我们可以通过使用子群 H 构造陪集来遍历群 G 的所有元素。通过将 G 中的每个元素 g 与子群 H 相乘（形成左陪集 gH 或右陪集 Hg），所有不同陪集的并集恰好覆盖 G 的每个元素一次。

适用条件：G 是一个群；H 是 G 的子群

我们可以通过将群 G 可视化为外部矩形，将子群 H 可视化为内部矩形来直观地理解正规子群。条件 $gHg^{-1} = H$ 意味着如果你使用元素 g “传输”整个区域 H，然后使用 $g^{-1}$ 将其带回，得到的区域仍然完全位于 H 内。

适用条件：H 是 G 的子群；g 是 G 中 H 外部的元素