对于 $n \ge 3$ ，由放缩 $n^2-3 \ge 2n^2/3$ 得出的误差界限是什么？

Q: 对于 $n \ge 3$，由放缩 $n^2-3 \ge 2n^2/3$ 得出的误差界限是什么？

使用 $n \ge 3$ 时的不等式 $n^2 - 3 \ge \frac{2n^2}{3}$，误差项 $\frac{9}{n^2-3}$ 的上界为 $\frac{9}{2n^2/3} = \frac{27}{2n^2} = \frac{13.5}{n^2}$。这提供了比 $18/n^2$ 估计更紧的上界，可能导致更小的有效整数截断值 $N$。

使用

n \ge 3

时的不等式

n^2 - 3 \ge \frac{2n^2}{3}

，误差项

\frac{9}{n^2-3}

的上界为

\frac{9}{2n^2/3} = \frac{27}{2n^2} = \frac{13.5}{n^2}

。这提供了比

18/n^2

估计更紧的上界，可能导致更小的有效整数截断值

N

。

适用条件

$n \ge 3$ 。
误差项是 $\frac{9}{n^2-3}$ 。
放缩不等式是 $n^2 - 3 \ge \frac{2n^2}{3}$ 。

理解与推导

从误差表达式 $\frac{9}{n^2-3}$ 开始。
应用分母的下界： $n^2 - 3 \ge \frac{2n^2}{3}$ 。
对分数应用不等式反转： $\frac{1}{n^2-3} \le \frac{1}{2n^2/3} = \frac{3}{2n^2}$ 。
乘以分子 9： $\frac{9}{n^2-3} \le 9 \cdot \frac{3}{2n^2} = \frac{27}{2n^2} = \frac{13.5}{n^2}$ 。
得出误差最多为 $\frac{13.5}{n^2}$ 。
设 $\frac{13.5}{n^2} < \varepsilon$ 以找到所需的 $n > \sqrt{\frac{13.5}{\varepsilon}}$ 。
验证所选的 $N$ 满足 $n \ge 3$ 。

例子

脚本指出：“对于 $n\ge 3$ ，更锐利的界限 n²− $3\ge 2n$ ²/3 给出误差最多为 $13.5/n$ ²。因此，不同的界限可以产生不同的整数截断值。”

容易误解的地方

错误地计算系数为 13.5 而不是 $27/2$ ，或反之亦然。
忽略验证不等式所需的条件 $n \ge 3$ 。
假设这个界限总是比直接的代数解更紧（它是一个近似值，而不是精确误差）。

观看对应讲解

哔哩哔哩极限定义中N的不唯一性

0:48 – 1:04原站看这一段 ↗

对于 $n \ge 3$ ，由放缩 $n^2-3 \ge 2n^2/3$ 得出的误差界限是什么？

适用条件

理解与推导

例子

容易误解的地方

观看对应讲解

相关概念

继续追问

相关问题

对于 n≥3n \ge 3n≥3，由放缩 n2−3≥2n2/3n^2-3 \ge 2n^2/3n2−3≥2n2/3 得出的误差界限是什么？

适用条件

理解与推导

例子

容易误解的地方

观看对应讲解

相关概念

继续追问

相关问题

算术平均数在巴比伦递推关系的几何分解中起什么作用？+

为什么 f(x,y)f(x,y)f(x,y)=xy/(x²+y²) 在原点处的多元极限不存在？+

数列 3n²/(n²−3) 的 epsilon-N 定义的几何可视化是什么？+

条件 xn≠x0x_n \ne x_0xn​=x0​ 在归结原则中的作用是什么？+

为什么检查几条路径不能满足归结原则中的全称量词？+

对于 $n \ge 3$ ，由放缩 $n^2-3 \ge 2n^2/3$ 得出的误差界限是什么？