在这个证明中，全纯函数原函数的显式公式是什么？

适用条件

• 函数 f 在区域 D 上是全纯的。
• 区域 D 是单连通的（确保路径无关性）。
• 在 D 中固定了一个基点 $z_0$。
• $\gamma_z$ 是 D 中从 $z_0$ 到 z 的一条路径。

理解与推导

1. 在区域 D 内固定一个任意基点 $z_0$。
2. 对于 D 中的任何点 $z$，令 $\gamma_z$ 为完全位于 D 内并从 $z_0$ 开始到 z 结束的路径。
3. 将函数 $F(z)$ 定义为沿此路径的 f 的积分：$F(z) := \int_{\gamma_z} f(w) dw$。
4. 验证由于单连通区域和 f 的全纯性保证的路径无关性，该定义是良定义的。

例子

黑板上显示了公式 $F(z) := \int_{\gamma_z} f(w) dw$，演讲者解释说，“我们可以使用围道积分构造这样一个函数 F……然后我们将函数 $F(z)$ 定义为沿这条路径的 f 的积分”。

容易误解的地方

• 假设原函数由不定积分定义，而没有指定基点和路径。
• 认为该公式适用于任何连续函数，忽略了全纯性和单连通区域对于路径无关性的必要性。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么区域 D 是单连通的对于通过围道积分定义原函数 $F(z)$ 很重要？
• 区域的开性如何帮助计算导数？