函数的不动点的正式定义是什么？

引入的定理是 Sharkovskii 定理，具体是 $n=3$ 的情况。它被描述为一个关于给定函数周期点存在性的定理，并使用不动点理论进行证明。

适用条件：该定理被作为关于周期点存在性的结果被引用。；在此片段中仅陈述了案例名称 $n=3$。

不动点定理之所以重要，是因为它们在拓扑学、混沌动力学和微分方程中具有广泛的应用。虽然单看定义可能显得抽象，但在简单环境中应用这些定理可以产生令人惊讶的强大结果。

适用条件：适用于不动点理论的数学研究。

周期为 $m$ 的周期点是指在函数迭代 $m$ 次后返回其自身的点。视频强调，这是在重复应用 $f$ 下的递归，而不是用于三角函数的相同周期概念。

适用条件：$f$ 是正在考虑的函数。；$m$ 是计算迭代次数的正整数。；$p$ 是其迭代有定义的点。

如果一个点在 $m$ 次迭代后返回其自身，并且在任何较小的正迭代中没有较早返回，则该点具有最小或素周期 $m$。这排除了点已经以较小周期重复的平凡情况。

适用条件：$m$ 是一个正整数。；$k$ 的范围是满足 $1\le k<m$ 的整数。；$p$ 是 $f$ 的一个周期点。

讲座引入最小（或素）周期是为了避免平凡情况。如果一个点在 $m$ 次迭代后返回其自身，那么在任何 $m$ 的倍数次迭代后它也会返回。

适用条件：$f$ 是一个函数。；$p$ 是 $f$ 的一个周期点。