不动点与周期点 | 纳森·达拉克利斯

1. 声音
   观察依据

   主讲人介绍不动点与周期点时说“一个函数 f”。

2. 公式
   观察依据

   黑板文字使用 $f$ 在 $f(x)=x$，$f^m(p)=p$，以及最小周期条件。

f

正在被考察其迭代的函数。

视频未明确指出$f$的具体定义域或陪域。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“函数 f 的一个不动点 x 满足性质：f 在 x 处的值等于 x。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“函数 f 的一个不动点 x 满足如下性质”，其下方为$f(x)=x$。

x

经$f$作用一次后保持不变的点。

视频未指明包含$x$的背景集合。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“函数 f 的一个周期为 m 的周期点 p 具有如下性质：f 的 m 次迭代在 p 处的值等于 p。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“函数 f 的一个周期为 m 的周期点 p 满足如下性质”，其下方为$f^m(p)=p$；随后最小周期的定义中也使用了$p$。

p

对$f$进行若干次迭代后返回自身的点。

视频未指明包含$p$的背景集合。

1. 声音
   观察依据

   说话人说“周期为 m”，随后又说“满足 f 的 k 次迭代作用于 p 后仍得 p 的最小 k（$k \ge 1$）即为 m。”

2. 公式
   观察依据

   黑板使用 $m$ 在 $f^m(p)=p$以及在最小周期陈述中 $f^m(p)=p$。

m

与周期点相关联的一个正整数周期。

视频将 $m$ 视作周期指标；虽未显式写出 $m\in\mathbb{Z}_{>0}$，但口述定义已暗示其为一个计数用的正整数。

1. 声音
   观察依据

   说话人说“满足 f 的 k 次迭代作用于 p 后仍得 p 的最小 k（$k \ge 1$）即为 m。”

2. 公式
   观察依据

   黑板在最小周期定义中写出了 $\forall k, 1 \le k < m$。

k

用于检验是否存在更小的正返回时间的迭代次数。

在所展示的条件中，$k$ 取遍所有满足 $1\le k<m$ 的整数。

1. 声音
   观察依据

   说话人说“f 的 m 次迭代作用于 p”，并解释为“f 连续作用 m 次”。

2. 公式
   观察依据

   黑板先后写出了 $f^m(p)=p$、$f^k(p)\neq p$ 和 $f^m(p)=p$。

$f^m$

函数 $m$次复合（迭代）$f$ 与其自身。

对正整数 $m$，通过反复应用 $f$ 隐式定义。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在定义最小周期时说：“f 的 k 次迭代在 p 处的值等于 p”。

2. 公式
   观察依据

   黑板写出 $f^k(p)\neq p$ 在关于 $1\le k<m$ 的普遍条件中。

$f^k$

该$k$ 次迭代的 $f$。

此处用于整数 $k$，且满足 $1\le k<m$。

1. 公式
   观察依据

   板书文字：“定义ⁿ：函数 f 的一个不动点 x 满足如下性质”，随后显示方程$f(x)=x$。

$f(x)=x$

不动点的定义性质：将函数$f$作用于点$x$，结果为$x$自身。

$x$是$f$定义域中的一个点；$f$是一个函数。

1. 公式
   观察依据

   板书文字：“定义ᵐ：函数 f 的一个周期为 m 的周期点 p 满足如下性质”，随后显示方程$f^{m}(p)=p$。

$f^{m}(p)=p$

周期为 的周期点的定义性质$m$: the $m$ 在 处的 次迭代$f$ 在 $p$ 等于 $p$。

$p$是$f$定义域中的一个点；$m$是一个正整数周期。

1. 公式
   观察依据

   板书文字：“定义ᵏ：若一点 p 的素（或最小）周期为 m，则满足”后接$\forall k, 1 \le k < m$及条件$f^{k}(p) \ne p$但$f^{m}(p)=p$。量词行显示为$\forall k, 1 \le k < m$。

$\forall k$, $1 \le k < m$

对严格介于 $k$ 与 $1$ 之间的整数 $m$ 的全称量化，用于要求更早的迭代均不返回到 $p$。

$k$取遍满足$1 \le k < m$的整数。

1. 声音
   观察依据

   说话人称此为“当 n 等于三时的沙可夫斯基定理”。

$n=3$

口述引言中所指涉的沙可夫斯基定理的具体情形。

用以标记该定理情形的整数参数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人给出了不动点的严格定义。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“函数 f 的一个不动点 x 满足如下性质”以及 $f(x)=x$。

函数的不动点是指在对该点应用一次函数后保持不变的点。在视频所用记号中，若 $x$ 是 $f$ 的一个不动点，则对 $f$ 应用 $x$ 返回 $x$ 自身。

1. $f$ 是当前所考虑的函数。

2. $x$ 是 $f(x)$ 有定义的定义域中的一个点。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将周期为 $m$ 的周期点定义为：$f$ 应用 $m$ 次后将 $p$ 映回 $p$。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着“函数 f 的一个周期为 m 的周期点 p 满足如下性质”以及 $f^m(p)=p$。

周期为$m$的周期点是指在对函数进行$m$次迭代后回到自身的点。视频强调，这是在反复应用$f$下的回归现象，而非三角函数中所用的‘周期’概念。

1. $f$是当前所考虑的函数。

2. $m$是表示迭代次数的正整数。

3. $p$是其各阶迭代均有定义的一个点。

1. 不动点的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示将重点关注最小周期或素数周期为 $m$ 的点，其定义为：首个满足 $k\ge 1$ 的 $f^k(p)=p$ 是 $m$。

2. 公式
   观察依据

   黑板写出“一点p具有素（或最小）周期m当且仅当”后接$\forall k, 1 \le k < m$、$f^k(p)\neq p$但不满足$f^m(p)=p$。

一个点具有最小（或素）周期 $m$，如果它在经过 $m$ 次迭代后回到自身，且不在任何更小的正整数次迭代时返回。这排除了某点已以某个类似因数的更小周期重复的平凡情况。

1. $m$是一个正整数。

2. $k$取遍满足$1\le k<m$的所有整数。

3. $p$是$f$的一个周期点。

1. 周期为 m 的周期点的定义

1. 公式
   观察依据

   左上角黑板定义写道：“定义ⁿ：函数 $f(x)=x$ 的一个不动点 x 满足如下性质。”

2. 图示
   观察依据

   附近标有“不动点理论”，并配有若干简笔小人涂鸦，以辅助说明该定义。

黑板上定义了一个函数的不动点$f$ 作为一个点 $x$ 满足 $f(x)=x$。这被作为“不动点理论”的基本对象提出。

1. $f$ 是一个函数。

2. $x$ 是 $f$ 定义域中的一个点。

1. 公式
   观察依据

   中右部黑板定义写道：“定义ᵐ：函数 f 的一个周期为 m 的周期点 p 满足如下性质。”后接 $f^{m}(p)=p$。

2. 图示
   观察依据

   附近一个红色椭圆框内写着：“我们并不总想包含那些平凡的周期点。”以此引出后续定义。

黑板上将周期点 $p$ 定义为周期为 $m$ 的函数 $f$ 的迭代方程 $f^{m}(p)=p$。旁边的注释指出，人们通常希望排除那些仅平凡地具有周期性的点，从而引出素周期（或最小周期）的概念。

1. $f$ 是一个函数。

2. $p$ 是 $f$ 定义域中的一个点。

3. $m$是一个正整数。

1. 不动点的定义

1. 公式
   观察依据

   底板定义写道：“Def^k：点p的素（或最小）周期为m，当且仅当”后接$\forall k, 1 \le k < m$和$f^{k}(p) \ne p$，但不满足$f^{m}(p)=p$。

黑板上将素周期（或最小周期） $m$ 定义为：要求 $m$ 次迭代返回到 $p$，且不存在小于 $m$ 以此方式实现。这一定义通过排除更早的重复，使前述周期点定义更加精确。

1. $m$是候选周期。

2. 对于每个整数 $k$ 满足 $1 \le k < m$，迭代 $f^{k}(p)$ 不等于 $p$。

3. 迭代$f^{m}(p)$等于$p$。

1. 周期为 m 的周期点的定义

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“这是沙可夫斯基定理的一个情形，更具体地说，是当n等于三时的沙可夫斯基定理。”

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕字幕在约18.5秒处显示“SHARKOVSKII'S”。

1. 该片段指出了定理的情形，但并未陈述沙可夫斯基定理的完整形式化前提或结论。

在口述部分，主讲人将相关不动点理论的应用识别为沙可夫斯基定理的一个情形，即情形$n=3$，并指出它涉及给定函数的周期点的存在性。

1. 该定理被用作关于周期点的存在性结果。

2. 本片段中仅陈述了名称为$n=3$的情形。

1. 周期为 m 的周期点的定义
2. 素（最小）周期的定义

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“鉴于不动点与周期点之间的关系，一个在证明中运用不动点理论、且相对容易理解的定理，便是关于周期点的定理。”

1. 该关系的精确数学表述并未在本片段中口头说明；而是通过黑板上的定义以视觉方式呈现。

由于不动点与周期点相关，因此一个借助不动点理论证明的、易于理解的定理，可以是关于周期点的定理。

1. 黑板上给出了不动点、周期点及素周期的定义，可作为上下文参考。

该断言中未口头明确说出任何量词。

1. 声音
   观察依据

   说话人称这是“当 n 等于三时的沙可夫斯基定理，它告诉我们某个函数的周期点的存在性。”

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上出现字幕“SHARKOVSKII'S”。

1. 本片段未说明沙可夫斯基定理中对函数的精确假设，也未说明各周期之间的精确蕴含关系。

沙可夫斯基定理中取$n=3$的情形，给出了关于某给定函数是否存在周期点的信息。

1. 所考虑的函数被默认设定，但视频片段并未明确说明其定义域、正则性或其他条件。

关于周期点的存在性陈述是以非形式化方式提出的；视频片段中未给出完整的量词结构。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将当前语境下的“周期”概念与正弦、余弦函数的周期进行对比，指出三角函数中的周期指的是函数自身的重复性，而此处的周期则指对函数反复应用后出现的重复性。

2. 图示
   观察依据

   黑板上写着“NOT LIKE”，旁边有两个标注为$\sin(x)$和$\cos(x)$的示意图，附有小型坐标系和波形图。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从黑板上刚写出的定义出发：$f^m(p)=p$ 表示点 $p$ 在经过 $m$ 次 $f$ 的应用后返回。

   步骤依据

   这是在对比之前立即陈述的周期点定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   接着，主讲人将这一概念与熟悉的周期函数（如$\sin(x)$和$\cos(x)$）作比较，这类函数的图像沿输入轴方向重复。

   步骤依据

   该观点由口头讲解及黑板上标注为$\sin(x)$和$\cos(x)$的示意图共同支持。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   由此得出的结论是：“周期”一词在此处的用法有所不同：它指某一点在迭代过程中的重现，而非函数图像的重复。

   步骤依据

   音频中明确指出：“这与三角函数语境中所用的‘周期’概念不同。”

   视频直接表达

在本讲中，“周期$m$”意指某一点在对函数进行$m$次迭代后返回自身，这一概念在本质上区别于三角函数通常所指的周期性。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当一点$p$具有周期$m$时，其真实含义是$p$被$f^m$所固定，即$f$被应用了$m$次。

2. 公式
   观察依据

   黑板上已标出$f(x)=x$表示不动点，$f^m(p)=p$表示周期点。

1. 公式

   $$f^m(p)=p$$
   解释

   取周期为$m$的周期点的定义。

   步骤依据

   写在黑板上并朗读出来。

   视频直接表达
2. 公式

   $$g=f^m$$
   解释

   将$m$重迭代函数$f^m$本身视为一个新函数$g$。

   步骤依据

   这是对所展示等式的标准重新解释；视频中明确指出该点被$f^m$所固定。

   依据视频推导
3. 公式

   $$g(p)=p$$
   解释

   于是该等式变为$g(p)=p$，与不动点形式一致。

   步骤依据

   直接代入不动点模式$f(x)=x$。

   依据视频推导

周期为 $m$ 的点（其中 $f$）可视为映射的第 $f^m$；特别地，一个通常的不动点对应于如下情形：$m=1$这一最终特例化到$m=1$是编辑性说明，而非单独说出的句子。

1. 图示
   观察依据

   一只手用白色粉笔在深色黑板顶部书写不动点定义。

2. 公式
   观察依据

   可见文字为“函数 f 的一个不动点 x 满足如下性质”，其下方为$f(x)=x$。

1. 深色黑板

2. 用白色粉笔手写

3. 定义不动点的文本行

4. 公式$f(x)=x$

1. 黑板画面从空白状态逐渐呈现完整的不动点定义。

2. 公式$f(x)=x$出现在该句子下方。

1. 画面始终保持单一黑板视角。

2. 记号中用$x$表示点，用$f$表示函数。

画面确立了本讲的核心研究对象：经函数一次作用后保持不变的点。

1. 图示
   观察依据

   在不动点定义下方，主讲人画了两个火柴人并配上一颗心，还写下一列学科名称。

2. 公式
   观察依据

   可见文字包括“拓扑学”、“混沌动力学”、“微分方程”和“不动点理论”。

1. 火柴人简笔画

2. 心形符号

3. 应用领域列表

4. 标注“不动点理论”

1. 在不动点定义下方出现新的彩色注释。

2. 应用领域列表被添加，并与短语“不动点理论”建立关联。

1. 原始的不动点定义仍保留在上方可见。

黑板通过将不动点思想与拓扑学、混沌动力学和微分方程相联系，直观地引出本主题。

1. 图示
   观察依据

   第二个定义写在黑板靠下的位置。

2. 公式
   观察依据

   可见文字为“函数 f 的一个周期为 m 的周期点 p 满足如下性质”，其下方为$f^m(p)=p$。

1. 周期点的黑板文字

2. 公式$f^m(p)=p$

1. 在先前内容下方新增了一条定义线。

2. 记号从一个应用$f(x)$转变为一个迭代$f^m(p)$。

1. 同一个函数符号$f$被重复使用。

2. 黑板上讨论的仍是点在映射下的递归性质。

这将不动点概念从单步推广到了多次迭代。

1. 图示
   观察依据

   在周期点定义的右侧，主讲人写下“NOT LIKE”字样，并勾画出带波形的小坐标系，波形分别标为$\sin(x)$和$\cos(x)$。

1. 每个波形的具体形状仅为示意图，而非精确图像。

1. 文字“NOT LIKE”

2. 小坐标轴

3. 波形示意图

4. 标签$\sin(x)$和$\cos(x)$

1. 在黑板右侧添加了一个比较区域。

2. 讲座通过视觉方式将点的递归性与图像的重复性区分开来。

1. 周期点公式$f^m(p)=p$仍作为主要参考依据。

示意图提示：此处的“周期”与三角函数通常意义上的周期性并不相同。

1. 图示
   观察依据

   在周期点部分附近出现一条红色批注，内容为“我们不希望总是分析平凡周期点”，并用红色圆圈标出。

1. 红色手写批注

2. 围绕该批注的圆圈

3. 指向下一个定义的箭头

1. 在黑板上添加了一条警示风格的注释。

2. 一条箭头将注意力引向下方即将给出的最小周期定义。

1. 已有的周期点定义保持不变。

该图示为从任意周期$m$细化到首次非平凡返回时间做好了准备。

1. 图示
   观察依据

   一个绿色的定义写在黑板底部。

2. 公式
   观察依据

   可见文字为：“点 p 具有素（或最小）周期 m，当且仅当”后接$\forall k, 1 \le k < m$、$f^k(p)\neq p$但不满足$f^m(p)=p$。

1. 绿色粉笔书写的文字

2. 对$k$作全称量化

3. 不等式$1\le k<m$

4. 条件$f^k(p)\neq p$与$f^m(p)=p$

1. 一个更严格的定义取代了‘仅具有某个周期’这一非正式想法。

2. 黑板现在区分了早于首次返回的先前返回与首次返回。

1. 符号$p$、$m$和$f$继续承担此前相同的含义。

这形式化了周期点的最小正向返回时间这一概念。

1. 图示
   观察依据

   黑板充满画面，上面有三条白色手写定义、一个紫色列表“拓扑学／混沌动力学／微分方程”、一张粉色标注“不动点理论”的便签、一个红色椭圆形警示语“我们并不总想包含平凡周期点”，以及若干橙色草图，标有“不像这样”，并附有$\sin(x)$和$\cos(x)$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人评论道：“我觉得我写在黑板上的数学内容，比它所对应的英文表述要更直截了当一些。”

1. 三条手写定义。

2. 紫色学科列表。

3. 粉色“不动点理论”标签。

4. 红色椭圆形警示语。

5. 标有“不像这样”的橙色正弦／余弦函数草图。

1. 镜头保持静止，主讲人在黑板画面之上进行讲解。

1. 定义与注释在整个开场镜头中持续可见。

视觉布局将课程内容从不动点组织到周期点，再到素周期；侧边注释则将该主题置于拓扑学、混沌动力学与微分方程的背景中，并警示不要计入平凡的周期性行为。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕左下方字幕显示“SHARKOVSKII'S”，同时主讲人念出该定理名称。

2. 声音
   观察依据

   主讲人在同一时间段内说出“Sharkovskii's theorem”。

1. 主讲人面对镜头讲话。

2. 屏幕左下方文字字幕。

1. 字幕短暂出现后即消失。

1. 口述提及与字幕在定理名称上保持一致。

字幕强化了正在口头引入的定理的正式名称。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确提醒，此处所说的“周期”概念与正弦、余弦等三角函数所用的周期概念不同。

2. 图示
   观察依据

   黑板上在$\sin(x)$和$\cos(x)$的示意图旁写下“不同于”。

人们可能误以为：说某点具有周期$m$，等同于说像$\sin x$这样的函数每隔$2\pi$就重复其图像。

此处，周期$m$是指：对该点反复应用函数$m$次后，该点回到自身：$f^m(p)=p$。这是点在迭代下的重现，而非函数输出模式随输入变量的重复。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示希望聚焦于非平凡情形，并引入最小周期（素周期）的点。

2. 公式
   观察依据

   黑板上同时添加条件$\forall k, 1 \le k < m,\; f^k(p)\neq p$与$f^m(p)=p$。

若$f^m(p)=p$，人们可能直接称$m$为周期，而不检查该点是否更早已有返回。

讲座进一步精确定义最小（素）周期：$m$是满足$f^m(p)=p$的第一个正整数迭代次数，且不存在更小的$k$使得$1\le k<m$成立并满足$f^k(p)=p$。

1. 图示
   观察依据

   黑板上的红色椭圆框内写着：“WE DON'T WANT TO ALWAYS BE INCLUDING TRIVIALLY PERIODIC POINTS.”

2. 公式
   观察依据

   该注释位于周期点定义与素（或最小）周期定义之间。

人们可能止步于条件$f^{m}(p)=p$，并将那些更早返回的点计为具有周期$m$。

黑板明确引入素（或最小）周期，以排除此类平凡情况，要求 $f^{k}(p)\ne p$ 对每个 $1\le k<m$ 成立。

1. 图示
   观察依据

   橙色标注“NOT LIKE”指向标有$\sin(x)$和$\cos(x)$的示意图。

2. 声音
   观察依据

   本片段中未配以任何口头解释。

1. 片段中未说明此处确切 intended 的对比含义；它可能指通常的周期函数与离散动力系统中周期点概念之间的区别，但该解读并未被直接陈述。

$\sin(x)$和$\cos(x)$的出现可能暗示本课内容涉及经典分析意义下的周期函数。

黑板将这些示意图标记为“NOT LIKE”，表明它们是用作对照的示例，而非核心研究对象；实际定义关注的是函数迭代后使某点回到自身的情形。

1. 声音
   观察依据

   在定义不动点之后，主讲人指出不动点与周期点密切相关，随后通过$f^m(p)=p$来定义周期。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将$f(x)=x$与$f^m(p)=p$并列呈现。

周期点的定义将不动点概念从对$f$应用一次扩展到$m$次应用$f$。

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入最小周期（或素周期）以排除平凡情况。

2. 公式
   观察依据

   板书补充了额外的全称条件，排除更早的返回。

最小周期是周期性的一种特殊且非平凡的形式：它要求满足$f^m(p)=p$，同时排除任何更小的正返回时间。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，一个周期为$m$的点被$f^m$所固定。

2. 公式
   观察依据

   $f(x)=x$和$f^m(p)=p$均出现在板书上。

称$p$具有周期$m$，其中$f$，等价于称$p$是迭代函数的不动点$f^m$；这一等价关系在口头重述中被明确指出。

1. 公式
   观察依据

   黑板先呈现$f(x)=x$，再呈现$f^{m}(p)=p$。

2. 声音
   观察依据

   讲话者随后提及“不动点与周期点之间的关系”。

不动点是迭代返回思想中一步的情形，而周期点则将其推广为在 $m$ 步下关于 $f^{m}$ 的返回。

1. 公式
   观察依据

   周期点的定义之后，紧接着给出了更严格的素周期（或最小周期）定义，该定义额外要求对所有更小的$k$成立。

2. 图示
   观察依据

   红色椭圆框标出的“避免平凡周期点”将这两个定义联系起来。

素周期通过增加最小性要求，进一步细化了周期点的概念，从而能区分真正的最小周期与任何同样返回该点但迭代次数更大的周期。

1. 声音
   观察依据

   在黑板上定义完周期点和素周期后，主讲人将沙可夫斯基定理作为关于周期点存在性的结论加以引入。

1. 该片段并未明确说明沙可夫斯基定理是否显式地以素周期来表述，但此前黑板上的铺垫强烈暗示：所关注的存在性概念是周期点。

引言中提到的这一定理，将黑板上建立的周期点框架应用于某个给定函数的存在性问题。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称一个易于理解的定理“其证明运用了不动点理论”，且“是一个关于周期点的证明”。

1. 本片段未展示该证明的实际过程。

引言指出，该周期点定理的证明运用了不动点理论，从而将不动点定义与沙可夫斯基定理情形$n=3$背后的证明方法联系起来。

1. 声音
   观察依据

   不动点的正式口头定义。

2. 公式
   观察依据

   板书写出$f(x)=x$。

1. 不动点的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，不动点定理在拓扑学、混沌动力学和微分方程中具有重要意义。

2. 图示
   观察依据

   这些学科名称写在板书上。

1. 不动点的定义

1. 声音
   观察依据

   口述：周期为$m$的周期点的定义。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出$f^m(p)=p$。

1. 周期为 m 的周期点的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人将此处“周期”的用法与正弦函数和余弦函数中的“周期”作对比。

2. 图示
   观察依据

   黑板上写出“NOT LIKE”，并附有$\sin(x)$和$\cos(x)$的示意图。

1. 周期为 m 的周期点的定义
2. 混淆迭代周期与三角函数周期

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，一个周期为$m$的点被$f^m$所固定，即对它应用$f$共$m$次。

1. 周期为 m 的周期点的定义
2. s0-cr-fixed-as-iterate-fixed

1. 声音
   观察依据

   口述：最小周期（或素周期）的定义。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出关于$k$的普遍条件，并附有$1\le k<m$。

1. 最小（素）周期的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，他们尽可能多地关注非平凡情形。

2. 图示
   观察依据

   红色注释指出，他们不想总是分析显然具有周期性的点。

1. 最小（素）周期的定义
2. 将每次返回时间都当作周期

1. 公式
   观察依据

   黑板上的定义$f(x)=x$可见。

1. 不动点的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上的定义$f^{m}(p)=p$可见。

1. 周期为 m 的周期点的定义

1. 图示
   观察依据

   红色椭圆警告：切勿包含“平凡周期点”。

2. 公式
   观察依据

   素周期定义增加了$\forall k, 1 \le k < m$、$f^{k}(p)\ne p$。

1. 素（最小）周期的定义
2. 并非所有周期点都应被视为具有真正的新周期

1. 声音
   观察依据

   主讲人提到“当 n 等于三时的沙可夫斯基定理”，并指出该定理涉及周期点的存在性。

1. 沙可夫斯基定理，情形 $n = 3$
2. 当 $n = 3$ 时的沙可夫斯基定理涉及周期点的存在性

1. 声音
   观察依据

   主讲人称该定理“在其证明中运用了不动点理论”。

1. 不动点与周期点之间的关系引出了一个关于周期点的定理。
2. s120-cr-fixed-theory-to-sharkovskii-proof