群 G 在集合 A 上的群作用的正式定义是什么？

要验证一个映射是否是群作用，首先检查其定义域是否为 $G \times A$，值域是否为 $A$。然后，验证两个性质：对所有 $g_1, g_2 \in G$ 和 $a \in A$，有 $g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a$；对所有 $a \in A$，有 $1 \cdot a = a$。

适用条件：该映射定义从 $G \times A$ 到 $A$。；$G$ 是一个群，$A$ 是一个集合。

是的，$S_3$ 在 $A = \{x_1, x_2, x_3\}$ 上的置换作用是忠实的，因为它的核是 $\{1\}$，即仅包含单位元的单元素集。

适用条件：$G = S_3$，即 3 度对称群。；$A = \{x_1, x_2, x_3\}$。；该作用定义为 $\sigma x_i = x_{\sigma(i)}$。

对于平凡作用 $ga = a$，核是整个群 $G$。

适用条件：该作用是对所有 $g \in G$ 和 $a \in A$ 成立的平凡作用 $ga = a$。

群作用的核是满足对所有 $a \in A$ 有 $ga = a$ 的群元素 $g$ 的集合。它记作 $\{g \mid ga = a\}$。

适用条件：给出了 $G$ 在 $A$ 上的群作用。；该集合由满足对所有 $a \in A$ 的固定条件的元素 $g \in G$ 组成。

是的，对所有 $g \in G$ 和 $a \in A$ 定义的映射 $ga = a$ 是一个群作用，称为平凡作用。它满足群作用的相容性和单位元性质。

适用条件：$G$ 是一个群，$A$ 是一个集合。；该映射定义为对所有 $g \in G$ 和 $a \in A$，有 $ga = a$。