非空集合 X 上的拓扑的正式定义是什么？

拓扑必须同时满足所有三个公理。一个集合可以包含 ∅ 和 X 并在并集下封闭，但如果它在有限交集下不封闭，仍然不是一个拓扑。

适用条件：该集合满足公理 1（包含 ∅ 和 X）和公理 2（在并集下封闭）。；该集合不满足公理 3（在有限交集下不封闭）。

在这种语境下，X 的一个子集是开的，当且仅当它是所选拓扑 τ 的成员。开性由属于 τ 来公理化地定义，而不是由距离、区间或度量概念来定义。

适用条件：选择了固定的集合 X 和拓扑 τ。；正在询问 X 的一个子集是否属于 τ。

这个集合不是一个拓扑，因为它在有限交集下不封闭。具体来说，两个开集 {a, b} 和 {a, c} 的交集是 {a}，但 {a} 不包含在该集合中。

适用条件：$X = {a, b, c}$。；提议的集合是 τ = {∅, {a, b}, {a, c}, X}。

拓扑空间被写成有序对 (X, τ)，因为同一个底层集合 X 可以承载不同的拓扑。拓扑 τ 指定了 X 的哪些子集被认为是开的，因此空间的结构取决于集合和所选的开子集集合两者。

适用条件：X 是一个集合。；τ 是 X 上的一个拓扑。

在拓扑公理中，“有限交集”意味着任意有限个开集的交集也必须是开集。它不要求无限交集是开的。

适用条件：应用拓扑的第三个公理。