梯形法则是什么，为什么端点的权重是二分之一？

适用条件

• 应用于区间 [a,b] 上的数值积分。
• 使用区间端点处的函数值。
• 对于复合使用，相邻子区间的端点是共享的，从而在外端点产生一半的权重。

理解与推导

1. 从区间上单个梯形的面积公式开始。
2. 当区间被细分时，每个内部采样点由其左侧的梯形和右侧的梯形共享。
3. 第一个和最后一个采样点各自只被一个相邻的梯形使用。
4. 在将所有梯形面积相加后，内部贡献完全结合，而端点贡献保持减半。

例子

视频将梯形法则呈现为一种数值积分方法，它将区间上的弯曲被积函数替换为两个采样点之间的直线，然后使用所得梯形的面积。讲师指出，梯形的面积等于高度的平均值乘以宽度，并且将相邻的梯形相加会得到一个与矩形规则非常相似的规则，只是端点值各自被赋予二分之一的权重。

容易误解的地方

• 假设梯形法则在任何图示函数上都是普遍优越的，而不需要细分。
• 认为端点值被赋予权重 1，因为它们位于边界。

观看对应讲解

继续追问

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