黑板上显示的长方体的体积是多少？

适用条件

• 区域是具有边界 $0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$ 和 $0 \le z \le 2$ 的长方体。
• 被积函数是 1。

理解与推导

1. 识别盒子的边长：3、4 和 2。
2. 将边长相乘：$3 \times 4 \times 2 = 24$。
3. 或者，求值三重积分：$\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\int_{0}^{2} 1 \, dz \, dy \, dx = 24$。
4. 得出体积为 24 立方单位的结论。

例子

演讲者将体积几何计算为 24 立方单位。黑板上显示最终写出的值为 24。

容易误解的地方

• 忘记将三个边长全部相乘。
• 将体积与表面积混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 通过三重积分计算出的长方体的最终体积是多少？
• 为什么在计算长方体体积的三重积分中，被积函数隐式为 1？