视频使用什么数值例子来检验 $x = 100$ 万亿时的素数密度近似？

适用条件

• $x = 100$,000,000,000,000。
• 密度近似为 #PRIMES/x ~ $1/\ln (x)$。

理解与推导

1. 将 $x = 100$ 万亿代入 $1/\ln (x)$。
2. 将 ln(100 万亿) 评估为约 32.23。
3. 计算 $1/32.23$ 的倒数得到 3.1%。
4. 将估计值 3.1% 与实际密度 3.2% 进行比较。

例子

屏幕显示 $x = 100000000000000$，然后是 $1/32.23$，然后是 3.1%，最后是 3.2% ~ 3.1%。

容易误解的地方

• 假设 0.1% 的差异意味着公式无效；视频指出对于更大的数字，差异趋近于零。
• 将密度百分比与素数的绝对计数混淆。

观看对应讲解

继续追问

• $x/\ln (x)$ 公式在 100 万亿时的总素数计数有多准确？
• 质数定理的形式化极限定义是什么？
• 为什么实际密度和估计密度之间的差异趋近于零？