为什么雅可比矩阵的列是由基向量构造的？
雅可比矩阵的列是由基向量构造的，因为对于任何线性变换，矩阵列代表定义域基向量的像。雅可比矩阵是局部线性近似的矩阵，因此其第一列是 x 基方向的像，第二列是 y 基方向的像。
适用条件
- 变换正被局部线性映射近似。**
- 使用标准基向量（x 方向和 y 方向）。**
- 矩阵表示遵循标准线性代数规则。**
理解与推导
- 回忆线性代数规则，即矩阵列是基向量的像。**
- 将此规则应用于由雅可比矩阵代表的局部线性近似。**
- 将第一列识别为变换后的 x 基向量（对 x 的偏导数）。**
- 将第二列识别为变换后的 y 基向量（对 y 的偏导数）。**
- 根据这些像逐列组装雅可比矩阵。**
例子
演讲者解释说，当用矩阵表示线性变换时，第一列告诉第一个基向量去哪里，第二列显示第二个基向量去哪里。这证明了用对应于 x 和 y 步长的偏导数填充雅可比列是合理的。
容易误解的地方
- 认为行代表基向量而不是列。**
- 假设雅可比列代表输入向量而不是其变换后的输出。**
- 混淆基向量的顺序；通常第 1 列是 x，第 2 列是 y。**
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