为什么正则施图姆-刘维尔问题的特征函数可以用来构成正交归一基？

适用条件

• 施图姆-刘维尔问题是正则的。
• 特征函数是相互正交且完全的。

理解与推导

1. 从正则施图姆-刘维尔问题的特征函数正交且完全的定理陈述开始。
2. 将“完全”解释为特征函数构成完备基。
3. 将每个特征函数归一化为单位长度。
4. 得出因为它们已经相互正交，归一化后的族成为正交归一基的结论。

例子

黑板上的括号写着“（因此可以构成 ONB）”。讲师解释说：“如果你相应地对它们进行归一化，你可以得到你的微分算子的特征函数的正交归一基。”

容易误解的地方

• 认为完全性本身就等同于已经是正交归一基；归一化是额外的步骤。
• 假设正交性本身就足以构成基；还需要完备性（完全性）。

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继续追问

• 正则施图姆-刘维尔问题和奇异施图姆-刘维尔问题有什么区别？
• 为什么在用分离变量法求解偏微分方程时会出现施图姆-刘维尔问题？

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