为什么在这个例子中可以直接将两个方程相加来消去 y？

适用条件

• 系统已化简为整数系数：$3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$。
• 相加前方程已逐项对齐。

理解与推导

1. 观察化简后系统中的 $y$ 系数：第一个方程中为 $-4$，第二个方程中为 $+4$。
2. 认识到 $-4$ 和 $+4$ 是加法逆元（相反数）。
3. 将两个方程逐项相加。
4. $y$ 项相互抵消（$-4y + 4y = 0$），从结果方程中消去了 $y$。
5. 求解剩余的方程 $18x = 36$，得到 $x = 2$。
6. 注意，这种直接相加之所以有效，仅仅是因为系统已经预先配置了相反的系数；否则，首先需要额外的操作。

例子

将 $3x - 4y = 14$ 和 $15x + 4y = 22$ 相加得到 $(3x+15x) + (-4y+4y) = 14+22$，化简为 $18x = 36$，因此 $x = 2$。

容易误解的地方

• 假设任何线性系统都可以通过简单地按原样相加方程来求解，而不管系数如何。
• 认为消元法总是立即可行，而不需要检查系数是否互为相反数或是否可以变成相反数。

观看对应讲解

继续追问

• 找到 $x=2$ 后，为什么讲师代入原始方程而不是化简后的系统？
• 如何验证有序数对是否满足含有分数的线性方程？
• 该方程组的解是什么？