为什么移除端点 0 会使半开区间 (0,1] 变得非紧致？

适用条件

• E 是半开区间 (0,1]。
• S 是无限子集 {$1/n$ : $n=1$,2,3,...}。
• 紧致性由极限点定义来判断。

理解与推导

1. 取集合 E = (0,1]。
2. 考虑包含在 E 中的无限子集 $S = {1/n}$。
3. 识别 S 的极限点，即 0。
4. 检查极限点 0 是否属于 E。
5. 因为 0 ∉ (0,1]，条件不成立，证明 E 不是紧致的。

例子

视频将区间从 [0,1] 改为 (0,1]，保留相同的子集 {$1/n$}，并显示标签变为“not compact”，因为极限点 0 现在在集合之外。

容易误解的地方

• 假设紧致性仅取决于集合是否有界，而忽略了包含其极限点的必要性。
• 认为当背景集合改变时，子集 {$1/n$} 也会改变。

观看对应讲解

继续追问

• 弗雷歇紧致性和极限点紧致性有什么区别？
• 在一般拓扑空间中如何定义紧致性？