为什么遍历性陈述中说几乎处处而不是处处？

适用条件

• 系统由常微分方程 $du/dt=f(u)$ 支配。
• $J$ 是状态 $u$ 的函数。
• 时间平均值由 $\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T J(u(t))dt$ 定义。
• 比较的系综具有密度。

理解与推导

1. 阅读幻灯片文本并听取旁白，两者都使用了几乎处处或几乎任何地方的限定词。
2. 理解这意味着对于几乎每个起点，极限时间平均值独立于初始条件。
3. 承认可能存在等式不成立的例外初始条件，尽管片段没有识别它们。
4. 得出使用几乎处处是为了解释这些潜在例外的结论。

例子

演讲者重复了几乎任何地方和几乎任何初始条件，表明不同的典型起点导致相同的极限时间平均值。

容易误解的地方

• 将几乎处处读作处处，假设等式对每一个可能的初始条件都成立而没有例外。
• 假设片段提供了例外零集的精确特征。

观看对应讲解

相关概念

继续追问

• 在遍历性的背景下，沿轨迹的可观测量的时间平均值意味着什么？
• 在演讲中，系综平均值是如何在操作上描述的？