为什么首项为1、公比为 $1/2$ 的几何级数虽然有无穷多项，却收敛于有限极限？

该级数收敛是因为其部分和 $S_n$ 趋近于一个特定的有限值，即2。视频中指出，部分和的公式为 $S_n = 2(1 - \frac{1}{2^{n+1}})$。由于当 $n$ 趋向于无穷大时，项 $\frac{1}{2^{n+1}}$ 趋向于0，因此整个表达式趋向于2。

该级数收敛是因为其部分和

S_n

趋近于一个特定的有限值，即2。视频中指出，部分和的公式为

S_n = 2(1 - \frac{1}{2^{n+1}})

。由于当

n

趋向于无穷大时，项

\frac{1}{2^{n+1}}

趋向于0，因此整个表达式趋向于2。

适用条件

脚本陈述：“从首项为1、公比为 $1/2$ 的几何级数开始。其部分和趋近于2。”并提供了显式公式：“ $S_n=2(1−2^{−(n+1)})$ ”。