为什么 $\hom(U, \hom(V, W))$ 同构于 $\hom(U \otimes V, W)$？

张量积在同构意义下是唯一的，因为如果 $(W, \varphi)$ 和 $(W', \varphi')$ 是 $U$ 和 $V$ 的两个张量积，则存在唯一的线性空间同构 $\tau: W \to W'$ 使得交换图成立，这意味着 $W' = \tau(W)$ 且 $\varphi' = \tau \varphi$。这表明任何两个实现仅相差一个唯一的同构。

适用条件：$U$ 和 $V$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间。；$(W,\varphi)$ 是 $U$ 和 $V$ 的张量积。；$(W',\varphi')$ 是 $U$ 和 $V$ 的另一个张量积。

记号 $U \otimes V$ 表示整个张量积空间，它在同构意义下是唯一确定的。相比之下，$u \otimes v$ 表示该空间内的一个基本张量元素，由对向量 $u \in U$ 和 $v \in V$ 应用双线性映射 $\varphi$ 生成。

适用条件：$U$ 和 $V$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间。；$u$ 在 $U$ 中，$v$ 在 $V$ 中。；$\varphi$ 是张量积构造中的双线性映射。

张量积的泛性质指出，对于域 $P$ 上的线性空间 $U, V, W$，如果存在一个双线性映射 $\varphi: U \times V \to W$，使得对于任意从 $U \times V$ 到 $P$（其中 $P$ 是域 $P$ 上的任意线性空间）的双线性映射 $f$，都存在唯一的线性映射 $\tau: W \to P$ 使得交换图成立（即 $f = \tau \varphi$），那么对 $(W, \varphi)$ 被称为 $U$ 和 $V$ 的张量积。

适用条件：$U, V, W$ 是域 $P$ 上的线性空间。；$\varphi$ 是从 $U \times V$ 到 $W$ 的双线性映射。；$f$ 是从 $U \times V$ 到域 $P$ 上的任意线性空间 $P$ 的双线性映射。；$\tau$ 是从 $W$ 到 $P$ 的唯一线性映射。

克罗内克积 $A \otimes B$ 是一个 $mp \times nq$ 的分块矩阵，因为它将 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的每个元素 $a_{ij}$ 替换为 $p \times q$ 矩阵 $a_{ij}B$。这导致有 $m$ 个行块和 $n$ 个列块，每个块的大小为 $p \times q$，使得总维度为 $mp \times nq$。

适用条件：$A$ 是 $m \times n$ 矩阵。；$B$ 是 $p \times q$ 矩阵。；$a_{ij}$ 是 $A$ 的元素。

张量积记号 $u \otimes v$ 满足分配律和标量移动规则，因为它是通过双线性映射 $\varphi$ 构造的。双线性意味着在每个变量中分别具有线性，从而得出 $(a_1u_1+a_2u_2)\otimes v=a_1u_1\otimes v+a_2u_2\otimes v$，$u\otimes(b_1v_1+b_2v_2)=b_1u\otimes v_1+b_2u\otimes v_2$，以及 $a(u\otimes v)=(au)\otimes v=u\otimes(av)$。

适用条件：$u, u_1, u_2$ 属于 $U$。；$v, v_1, v_2$ 属于 $V$。；$a, a_1, a_2, b_1, b_2$ 是域 $\mathbb{P}$ 中的标量。