为什么在一般的局部化设置中，朴素的交叉相乘条件是不够的？

适用条件

• $R$ 是一般的交换环（不一定是整环）。
• $S \subset R$ 是乘法闭的。

理解与推导

1. 认识到在整环中，$r_1s_2 = s_1r_2$ 足以判定分数相等。
2. 注意到在一般环中，$r_1s_2 - s_1r_2$ 可能不为零，但可能被某个 $t \in S$ 湮灭。
3. 理解等价关系必须允许这种湮灭才能是良定义和传递的。
4. 得出条件 $\exists t \in S : t(r_1s_2 - s_1r_2) = 0$ 是必要的。

例子

演讲者指出，相等“不仅”在交叉乘积为零时成立，而且在乘以某个 $t \in S$ 使其为零时也成立。黑板将 $(r_1 s_2 - s_1 r_2)=0$ 升级为 $\exists t \in S : t(r_1 s_2 - s_1 r_2)=0$。

容易误解的地方

• 将整环规则误认为是普遍的局部化规则。
• 假设 $r_1s_2 = s_1r_2$ 始终是 $S^{-1}R$ 中相等的正确准则。

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继续追问

• 局部化中两个分数 $r_1/s_1$ 和 $r_2/s_2$ 相等的普遍准则是什么？
• 环局部化中分数的等价关系是什么？

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